Innenwinkel eines n-Ecks |
| 11.03.2014, 21:40 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Innenwinkel eines n-Ecks Guten Abend zusammen, ich bin wieder am knebeln, ich soll den Innenwinkel eines n-Ecks bestimmen? Meine Ideen: Ich verstehe, worum es in dieser Aufgabe geht, aber ich kann mir das nicht vorstellen oder es wird im Buch einfach schlecht dargestellt. Also, wenn ich mir von einem beliebigen Punkt aus, die Strecken denke, so enstehen Dreiecke, deren Innenwinkel 180 Grad sind. Also n mal 180 Grad. Das verstehe ich. Dann kommt so ein Satz den ich nicht einordnen kann: Die Summe ist jedoch größer als die gesuchte, denn sie enthält Größten aller der Dreieckswinkel , deren Scheitel der Punkt P ist. Diese Winkel bilden einen Vollwinkel. Danke im Voraus |
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| 11.03.2014, 23:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Text ist nicht der der Originalaufgabe und auch nicht vollständig, ausserdem ziemlich chaotisch (unverständlich) geschrieben. Hilfe kann erst dann gegeben werden, wenn feststeht - Um welches n-Eck kandelt es sich? - Welcher Innenwinkel ist zu bestimmen? - Was bzw. wo ist der Punkt P Übrigens: Ein (konvexes) n-Eck zerfällt in n-2 Teildreiecke mY+ |
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| 12.03.2014, 00:26 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, stimmt das war ziemlich dumm von mir. Es geht um die Innenwinkel eines Dreiecks Problem: Bestimmen Sie die Summe der Innenwinkelgrößen eines n-Ecks? Dann kommt genau dieser Text: Denkt man sich von einem beliebigen Punkt P innerhalb des n-Ecks Strecken zu allen Eckpunkten gezeichnet, so entstehen n Dreiecke. Deren Innenwinkelsumme beträgt n*180. Diese Summe ist jedoch größer als die gesuchte, denn sie enthält die Größen aller Dreieckswinkel, deren Scheitel der Punkt P ist. Diese Winkel bilden aber einen Vollwinkel, d.h. einen Winkel von 360 Grad. Man erhält also die Summe S der Innenwinkelgrößen eines n-Ecks, wenn man von n*180 diese 360 subtrahiert. |
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| 12.03.2014, 00:32 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht, warum die 360 Grad dort stören. Also meiner Meinung nach, würde es ja schon reichen und sagen, das die Innenwinkelsumme n*180 Grad ist. Die 360Grad,m warum werden die abgezogen? Vielleicht,weil sie nicht Teil des Dreiecks sind? |
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| 12.03.2014, 00:41 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du einfach alle Winkel der n Dreiecke nimmst, dann sind da auch jene dabei, die "beim Punkt P liegen". Diese willst du aber nicht dabei haben. Du willst ja nur die Winkel außen. Also zieht man die Summe der inneren Winkel ab. Da diese zusammen, wie soll ich sagen, einen vollen Kreis ergeben, haben sie zusammen 360. |
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| 12.03.2014, 01:07 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso will man die den nicht dabei haben? Die Sache ist doch so, wenn ich die 360 Grad abziehe, habe ich dann nicht, wie soll ich das vermitteln, einen Teil des Dreiecks herausgenommen? Das Dreieck bildet doch dann keine 180 Grad mehr. |
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| 12.03.2014, 08:04 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte 
:Du hast also das Vieleck in Dreiecke zerlegt. Dann addierst du alle Innenwinkel der Dreiecke. Für die Innenwinkelsumme des Vielecks sind aber nur die Winkel an seinen Eckpunkten von Interesse. Beim Summieren der Innenwinkel der Dreiecke beziehst du aber auch die Winkel mit ein, deren Scheitel im Punkt P liegt. Sie bilden zusammen einen Vollwinkel und müssen wieder subtrahiert werden, um die Innenwinkelsumme des Vielecks zu erhalten. |
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| 12.03.2014, 08:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Biero Ist zwar kein Beweis der richtigen Formel, aber um dein "Drinlassen" dieser Winkel rund um ad absurdum zu führen: Betrachte schlicht mal das n-Eck mit n=3, also das Dreieck selbst: Auch das kann man durch so einen inneren Punkt P so zerlegen. Bist du dann der Meinung, dass die Innenwinkelsumme in diesem Dreieck ist? 
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| 12.03.2014, 22:17 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
HAL 9000, das stimmt, das habe ich auch verstanden. Ich möchte nur wissen, wieso die 360 dort abgezogen werden. Wieso sind denn die Winkel an seinen Eckpunkten nur von Bedeutung? |
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| 12.03.2014, 22:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Antwort liegt in dieser Aufgabenstellung:
Da also nur die Winkel an den Eckpunkten zu summieren sind, gehören alle Winkel, deren Scheitel im Inneren beim Punkt P liegen, eben NICHT dazu, so einfach ist dies. Die nicht zu berücksichtigenden Winkel bilden einen Vollkreis um P, deren Summe ist daher von der Winkelsumme aller Dreiecke abzuziehen. Das Resultat der Innenwinkelsumme lautet daher 180n - 360 und das ist gleich 180*(n - 2). Zu diesem Ergebnis kommt man auch auf einem anderen Weg, nämlich, indem man das Vieleck von einem Eckpunkt aus in Teildreiecke zerlegt. Da zu seinen beiden Nachbarpunkten keine Dreieckszerlegung möglich ist, ist die Anzahl der von einem Punkt aus erzeugten Teildreiecke (wie schon erwähnt) gleich n - 2. Damit kann nun die Winkelsumme direkt - wie du dir das offensichtlich ursprünglich vorgestellt hast - als 180*(n - 2) berechnet werden. mY+ |
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| 12.03.2014, 22:38 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohhh mein Gott. ____________________ Vielen Dank Mythos. ____________________ Ich dachte die ganze Zeit,dass die Winkel an P auch zu den Dreiecken dazugehören. ____________________ Danke an euch anderen auch. Edit (mY+): Bitte keine Mehrfachposts, dazu hast du ja den EDIT-Button! 4-fach Post zusammengefügt. |
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| 12.03.2014, 22:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Resultat der Innenwinkelsumme lautet daher 180n - 360 und das ist gleich 180*(n - 2). Zu diesem Ergebnis kommt man auch auf einem anderen Weg, nämlich, indem man das Vieleck von einem Eckpunkt aus in Teildreiecke zerlegt. Da zu seinen beiden Nachbarpunkten keine Dreieckszerlegung möglich ist, ist die Anzahl der von einem Punkt aus erzeugten Teildreiecke (wie schon erwähnt) gleich n - 2. Damit kann nun die Winkelsumme direkt - wie du dir das offensichtlich ursprünglich vorgestellt hast - als 180*(n - 2) berechnet werden. mY+ |
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| 12.03.2014, 22:54 | Blerim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 13.03.2014, 07:39 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das tun sie auch! Da die Sache doch noch nicht so klar zu sein scheint, komme ich noch einmal mit einem Bild. Das zu untersuchende Vieleck ist hier einfach ein Viereck. In Bild a siehst du das Viereck. Seine Innenwinkel, deren Summe ermittelt werden soll, sind grün gekennzeichnet. In Bild b ist ein innerer Punkt P gewählt und das Viereck wurde in Dreiecke zerlegt. Zu jedem Dreieck gehören zwei blaue und ein roter Winkel. Die Summe der blauen Winkel entspricht genau der Summe der uns interessierenden grünen Winkel. Wenn du aber die Innenwinkel aller Dreiecke (blau und rot) addierst, erhältst du eine zu große Summe. Die roten Winkel um Punkt P gehören zwar zu den Dreiecken, aber nicht zu den Innenwinkeln des Vierecks! Die roten Winkel um P bilden zusammen gerade einen Vollwinkel mit 360° und müssen wieder subtrahiert werden. Die nun übrig bleibende Summe der blauen Winkel in Bild c ist gleich der gesuchten Summe der grünen Winkel in Bild a. Einfach ausgedrückt: grün = (blau + rot) - rot 
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| 13.03.2014, 13:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, das dürfte Blero schon klar geworden sein. Der alternative Weg, den Punkt P einfach in einen Eckpunkt zu verlegen, ist ja im Prinzip gleich, nur zählen dort dann wirklich ALLE Winkel in den (n-2) Teildreiecken. mY+ |
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