Beweis Injektivität im Zusammenhang mit Kompositionen

11.03.2014, 22:07

Andrej0071

Beweis Injektivität im Zusammenhang mit Kompositionen

Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Seien f: M --> N und g: L --> M Abbildungen. Zeigen Sie:
Ist f "kringel" g injektiv, so ist auch g injektiv.

Meine Lösung:

Sei f "kringel" g injektiv. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall l, l' \in L: f(g(l)) = f(g(l')) \Rightarrow l=l' \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Abbildungseigenschaft von g gilt auch $\begin{eqnarray*} g(l)=g(l') \end{eqnarray*}$

Somit ist g injektiv.

In der Musterlösung steht ein ähnlicher, aber doch etwas anderer Beweis. Meine Frage ist nun, ob mein Beweis auch richtig wäre?

Grüße Augenzwinkern

Andrej

11.03.2014, 22:29

chrizke

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RE: Beweis Injektivität im Zusammenhang mit Kompositionen

Zitat:

Original von Andrej0071
Aufgrund der Abbildungseigenschaft von g gilt auch $\begin{eqnarray*} g(l)=g(l') \end{eqnarray*}$

Somit ist g injektiv.

Das musst du mal was genauer erklären, was für Abbildungseigenschaften von g meinst du hier? Außer dass $\begin{eqnarray*} g:L\to M \end{eqnarray*}$ gilt, ist ja erstmal nichts weiter gegeben.

Ohne genauere Erklärungen fällt deine Schlussfolgerung irgendwie vom Himmel...

Zudem musst du ja auch ausdrücklich die Injektivitätsbedingung zeigen: $\begin{eqnarray*} g(l)=g(l') \Rightarrow l=l'. \end{eqnarray*}$

Was du bis jetzt geschlussfolgert hast ist eher sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \forall l,l'\in L: f(g(l))=f(g(l')) \Rightarrow l=l' \Rightarrow g(l)=g(l') \end{eqnarray*}$

Diese Schlussfolgerung ist zwar nicht verkehrt, aber auch nicht das was du zeigen sollst.

12.03.2014, 11:03

Andrej0071

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Zitat:

Außer dass $\begin{eqnarray*} g:L\to M \end{eqnarray*}$ gilt, ist ja erstmal nichts weiter gegeben.

Ohne genauere Erklärungen fällt deine Schlussfolgerung irgendwie vom Himmel...

Ich meinte die Tatsache, dass g eine Abbildung ist. Nach der Definition ist g damit linksvollständig und rechtseindeutig, d.h., dass jedem $\begin{eqnarray*} l\in L \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird.

.... Unabhängig davon habe ich das jetzt auch gesehen, dass ich etwas gezeigt habe, was nicht zu zeigen war Hammer

, ich starte mal Versuch Nr. 2 (will umbedingt einen Beweis, der von der Musterlösung abweicht):

Versuch Nr. 2:

Zu zeigen ist die Injektivität von g, also: $\begin{eqnarray*} \forall l,l' \in L: l\neq l'\Rightarrow g(l)\neq g(l') \end{eqnarray*}$

Da f "kringel" g injektiv ist, gilt per Definition der Injektivität (Quantoren lass ich jetzt mal weg): $\begin{eqnarray*} l\neq l'\Rightarrow f(g(l))\neq f(g(l')) \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Abbildungseigenschaft von f (siehe oben) folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} g(l)\neq g(l') \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also gezeigt:
$\begin{eqnarray*} \forall l,l'\in L: l\neq l'\Rightarrow f(g(l))\neq f(g(l'))\Rightarrow g(l)\neq g(l') \end{eqnarray*}$

Grüße

13.03.2014, 19:21

chrizke

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Ja das sollte so stimmen. Aber dass es wirklich ein 'anderer' Beweis als der in der Musterlösung ist, glaube ich nicht –kenne deine Musterlösung ja auch nicht.

Anstatt

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$

hast du

$\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow\neg A \end{eqnarray*}$

gezeigt.

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