bestimmtes Integral (konkrete Aufgabe)

12.03.2014, 10:43

Ascareth

bestimmtes Integral (konkrete Aufgabe)

Hallo,

folgende Aufgabe konnte ich zuerst nicht lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \left( 2x + \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \right )\, dx \end{eqnarray*}$

Mein erster Versuch war (was aber natürlich nicht sein kann, da der Exponent 0 würde):

$\begin{eqnarray*} \int 2x \quad dx = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \quad dx = - (x^2 - 4x + 4)^{-0} \end{eqnarray*}$

Mein zweiter Versuch war (was auch nicht sein kann, da auch hier dir Probe nicht passt):
Ich habe hier den Weg über den ln versucht, weil ich dabei im Sinn hatte das: ln(x) = 1/x ist.

$\begin{eqnarray*} \int 2x \quad dx= x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \quad dx= \frac{1}{2x - 4} \cdot ln(x^2 - 4x + 4) \end{eqnarray*}$

Erst aus der Lösung habe ich dann gesehen, dass es so sein muss:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \left( 2x + \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \right )\, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \left( 2x + (x - 2)^{-2} \right )\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int 2x \quad dx = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int (x - 2)^{-2} \quad dx = - (x - 2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich würde daraus für mich die Regel entnehmen, dass, wenn man mit seinen Bemühungen nicht weiterkommt, man einfach den Term etwas unbaut und es dann noch mal versucht.

Gibt es da vielleicht eine Möglichkeit, wie man direkt am Anfang erkennen kann, wie man am besten vorgeht?

Vielen Dank
Asca

EDIT: Die Konstantenglieder +c habe ich mir mal bei den unbestimmten Integralen gespart. Oder muss man das extra noch mal schreiben. Oder geht diese Kurzschreibweise so ?

12.03.2014, 10:51

klarsoweit

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RE: bestimmtes Integral (konkrete Aufgabe)
Bei $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \left(\frac{1}{x^2 - 4x + 4} \right )\, dx \end{eqnarray*}$ hilft erstmal die 2. binomische Formel und dann die Substitution u = x-2 . Augenzwinkern

12.03.2014, 13:30

Ascareth

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Also mit anderen Worten: Vereinfachen.

Oder gibt es eine konkrete Vorgehensweise, wie man Substitution formalisiert durchführen kann und diese auch auf andere Ausdrücke anwenden kann, die über die Anwendung der binomischen Formeln hinausgehen?

12.03.2014, 13:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Oder gibt es eine konkrete Vorgehensweise, wie man Substitution formalisiert durchführen kann

Das geht nach den Regeln der Integral-Substitution und hat ein weites Anwendungsfeld. smile

Bei gebrochen rationalen Funktionen geht man außerhalb von Sonderfällen mit der Partialbruchzerlegung heran.

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