Lineare Abbildungen

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12.03.2014, 11:18	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen Meine Frage: Ich muss folgende Aufgabe lösen: Sei $\begin{eqnarray} w=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \in \mathbb R ^3,w\neq 0 \end{eqnarray}$ vorgegeben. Finden Sie zu den folgenden linearen Abbildungen jeweilsdie entsprechende Matrix (bzgl. der kanonischen Basen) und bestimmen Sie Kern und Bild. a) $\begin{eqnarray} L:\mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ definiert durch L(v)= w x v für alle $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} L:\mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ definiert durch L(v)= <w,v> für alle $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu a) habe ich mal die entsprechende Matrix versucht darzustellen: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Idee ist, dass die Determinante hier ungleich 0 ist und somit keinen Kern besitzt? Ist das richtig so? Und wie siehts dann mit dem Bild aus? zu b) habe ich leider keine Idee, denn wir hatten in der Vorlesung nur Beispiele mit Zahlen und zudem keine eckigen Klammern verwendet :/ Kann mir da jemand weiterhelfen oder mir einen guten Tipp geben?
12.03.2014, 11:26	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
a) der Kern ist gerade die Lösungsmenge von A*v = 0. Minimaler Kern ist also immer das Nullelement. Da die Determinante ungleich Null ist, ist dies hier eben genau der Fall. b) <w,v> kenne ich in diesem Zusammenhang nur als Skalarprodukt. Dies würde aber keinen Sinn machen, da es sich dabei um eine reelle Zahl handelt.
12.03.2014, 16:51	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort. Zu a) Heisst das, da die Determinante ungleich 0 ist, ist der Kern der Nullvektor selbst? Gibt es demnach auch kein Bild? Oder besteht das Bild aus R^3? Zu b) Hmm ja, das stimmt. Kann man also demnach diese Aufgabe gar nicht lösen?
12.03.2014, 17:43	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild ist der gesamte R^3 (da die Matrix vollen Rang hat). Bei b): Tjoar, fehlt da vllt. eine Angabe (bildet die Funktion vllt. vom R^3 in den R^1 ab)? Oder habt ihr < . , . > irgendwie besonders definiert bei euch?
12.03.2014, 18:09	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke zu a) Zu b) Ja, war mein Fehler, die Fkt. sollte vom R^3 zu R^1 abbilden, sorry.. Doch wie stelle ich das trotzdem am besten dar?
12.03.2014, 19:45	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass mal v = (v1,v2,v3) sein und w = (w1,w2,w3). Wie sieht dann das Skalarprodukt aus? Wie kannst du das als Multiplikation von Matrix und Vektor schreiben? Welche Vektoren v werden wohl durch w*v auf die Null abgebildet? Übrigens bin ich vorhin nur nach deiner Aussage "des vollen Ranges der Matrix" in a gegangen. Diese Aussage ist aber falsch. Überdenk dann nochmal den Kern von L(v) = w x v.
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12.03.2014, 21:23	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a wird R^3 schon zu R^3, also die Aufgabe ist richtig bei a. Dann stimmt doch der Kern R^3 meiner Meinung nach, nicht? Ich werde Morgen früh b mit deinen Tipps versuchen, zu lösen. Falls ich Probleme bekommen sollte, werde ich mich melden Danke nochmals
12.03.2014, 22:28	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vektorprodukt ergibt immer dann Null, wenn es sich um parallele Vektoren handelt. D.h. w x v = 0 für alle v mit v = c * w, wobei c eine reelle Zahl ist. Damit hat der Kern die Dimension 1, also kann das Bild nicht die Dimension 3 haben.
13.03.2014, 12:09	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Dimension des Bildes dann R^2, richticht?
13.03.2014, 12:37	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mal b) versucht: w ist definiert als=(a,b,c) und v=(v1,v2,v3) Dann wird das Skalarprodukt<w,v>= av1+bv2+cv3 Das kann man auch schreiben als: $\begin{eqnarray} v1\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+v2\begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}+v3\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter, wie fahre ich am besten fort? Kannst du mir da einen Tipp geben?
13.03.2014, 13:48	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, das kann man nicht so schreiben. Das Ergebnis wäre kein Skalar. Wann ist das Skalarprodukt Null?
13.03.2014, 15:30	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt dumme Idee von mir... Das Skalarprodukt ist meiner Meinung nach Null, wenn der v1=v2=v3=0 ist oder liege ich da falsch?
13.03.2014, 15:34	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Da liegst du falsch. (bzw. streng genommen ist das zwar richtig, aber nur ein Spezialfall) Hattet ihr das Skalarprodukt noch nicht, oder wie? Lies es nach, du bist alt genug um dir ein wenig selbst anzuschauen und dann Rückfragen zu stellen.
13.03.2014, 18:12	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast recht, stand wohl auf dem Schlauch, da wir schon lange nicht mehr das Skalarprodukt behandelt haben.. sorry Wenn die Vektoren w und v zueinander orthogonal sind, also einen Winkel von 90 Grad einschliessen, ist das Skalarprodukt gleich 0. Also wenn die Vektoren v und w senkrecht aufeinanderstehen: $\begin{eqnarray} \vec{w} \cdot \vec{v}=wvcos(90) \end{eqnarray}$ Ich werde jetzt mal mit dieser späten Einsicht versuchen, die Aufgabe zu lösen und nicht voreilig unüberlegte Fragen zu stellen
13.03.2014, 18:20	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, melde dich dann wieder wenn du gerechnet hast, ich (und die anderen) lauf nicht weg
13.03.2014, 22:55	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt schon ein Paar Seiten im Internet durchgegangen aber komme nicht so recht auf die Antwort. Meiner Meinung nach müsste v die kanonische Basis selbst sein, denn der Winkel zwischen e1,e2 und e3 ist 90 Grad , doch liegt diese dann auch orthogonal zum Vektor w? Irgendwie fehlt mir hier die zündende Idee, da der Vektor w nur aus Buchstaben und nicht aus Zahlen besteht
13.03.2014, 23:59	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, nehmen wir mal an w wäre identisch zu e1 d.h. (1,0,0). e1 * e2 = 0 wie du richtig angedeutet hast. Ebenso ist e1 * e3 = 0. Was ist denn mit e1 * (e2 + e3)? Und allgemeiner mit e1 * (a * e2 + b * e3)? Wie sähe denn dann wohl der Kern für w = e1 aus?
14.03.2014, 11:49	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch das Distributivgesetz wäre e1e2+e1e3=0 Dasselbe sollte auch für e1ae2+e1be3=0 gelten Zum Kern: Der Kern würde meiner Meinung nach bei w=e1 aus e2 und e3 bestehen. Nur in diesem Fall gäbe auch das Skalarprodukt das Ergebnis 0. Ist meine Folgerung richtig?
14.03.2014, 14:58	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre denn wenn wir konkrete Zahlen für a und b einsetzen z.B. jeweils die 2? Dann wäre also e1 * (a * e2 + b * e3) = e1 * (2e2 + 2 e3) = e1 * (0,2,2) = 0 Gibt es irgendwelche Zahlen a und b für die das ganze nicht Null ergibt?
14.03.2014, 17:51	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn egal was ich für a oder b einsetze, ich multiplizier ja diese Zahl dann immer mit 0 schlussendlich. Wie kann man das denn mathematisch korrekt fomulieren? Ich meine wir haben ja jetzt angenommen, w=e1 und damit v bestehend aus e2 und e3 ergibt das Skalarprodukt 0, egal was ich für a oder b einsetze. Dasselbe könnte ich ja für w=e2 und v aus e1 und e3 und w=e3 und v aus e2,e1 sagen. Der Kern würde dann einfach aus den anderen beiden Komponenten des Basisvektors bestehen.
14.03.2014, 18:13	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Kern würde aus ALLEN Linearkombinationen der beiden anderen Basisvektoren bestehen d.h. eine Ebene aufspannen. Für jedes v das durch Linearkombination der beiden anderen Basisvektoren gebildet wird ist das Skalarprodukt w*v Null. Also gehören alle diese v zum Kern von L(v).
14.03.2014, 18:37	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt Danke vielmals Jetzt noch als allerletzte Frage zum Verständnis. Das Bild ist demnach, wenn w=e1 sei = R^1, da es nur eine unabhängige Spalte gibt.
14.03.2014, 19:59	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das Bild ist der gesamte R^1! "Kontrolle": Es gilt natürlich die Dimensionsformel, d.h. Dim(Kern) + Dim(Bild) = Dim(V = R^3) = 3, was hier dann auch der Fall ist!
14.03.2014, 21:58	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt! Danke vielmals für Deine Zeit und Geduld! Du hast mir (nebst der Aufgabe) echt geholfen, die ganze Materie besser zu verstehen
14.03.2014, 22:31	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gerne!

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