Eigenwerte einer 5x5 Matrix

12.03.2014, 16:58

xyz123456

Eigenwerte einer 5x5 Matrix

Meine Frage:
Hallo,

Ich muss die Eigenwerte einer 5x5 Matrix berechnen. Mithilfe des Laplac'schen entwicklungssatzes habe ich diese auf eine 3x3 Matrix herunterbrechen können und so, aus dem Polynom dritten grades, auch die Eigenwerte berechnet (2,3 und 2).
Kontrolliere ich das ganze bei Wolframalpha stehen dort jedoch 5 EW. Also meine + 1 und 1, daher meine Frage. Woher bekomme ich den 4. und 5. EW?

Hier ist die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 0 \\ 0 0 2 1 0 \\ 0 0 0 2 0 \\ 0 0 0 0 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i={{1,0,0,0,0},{1,1,0,0,0},{0,0,2,0,0},{0,0,1,2,0},{0,0,0,0,3}}

Meine Ideen:
Meine Ideen....

Latexklammern gesetzt.
kasen75

12.03.2014, 17:51

Kasen75

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Hallo,

wenn du nach $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{22} \end{eqnarray*}$ entwickelt hast, dann sind $\begin{eqnarray*} a_{11}=\lambda-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{22}=\lambda-1 \end{eqnarray*}$ . Somit hast du die beiden Faktoren, die dir fehlen.

Die Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} \left( \lambda E -A \right)=0 \end{eqnarray*}$

Grüße.

12.03.2014, 19:26

xyz123456

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Ah, Okay.

An welcher Stelle berechne ich das denn bzw. schreibe es auf?

Nehme ich die beiden Werte und multipliziere es mit meinem Polynom oder kann ich an der Stelle schon sagen das $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ =1?

Mein Polynom zum Schluss nach Sarrus lautete ja $\begin{eqnarray*} (2-\lambda)*(2-\lambda)*(3-\lambda) =0 \end{eqnarray*}$

Also ist es jetzt $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*(1-\lambda)(2-\lambda)*(2-\lambda)*(3-\lambda) =0 \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2014, 19:52

Kasen75

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Zitat:

Original von xyz123456
Ah, Okay.

An welcher Stelle berechne ich das denn bzw. schreibe es auf?

Beim Entwicklungssatz. Der Faktor bei der ersten und zweiten Entwicklung sind jeweils $\begin{eqnarray*} (1-\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda ) \cdot \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von xyz123456
Also ist es jetzt $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*(1-\lambda)(2-\lambda)*(2-\lambda)*(3-\lambda) =0 \end{eqnarray*}$ ?

Genau.

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