Komplexe Menge skizzieren mit schwieriger Funktion

12.03.2014, 17:54

Arnulf123

Komplexe Menge skizzieren mit schwieriger Funktion

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, es geht um das Zeichnen einer komplexen Menge

Aufgabe lautet: Bestimmen und skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene

$\begin{eqnarray*} M_3:= \end{eqnarray*}$ Bild des Einheitskreises unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \Rightarrow \mathbb C, f(z)=\frac{z}{|z|+3} \end{eqnarray*}$

Ich kann mir vorstellen wie das Ganze aussehen soll. Und zwar die Funktion zeichnen, und dann den Einheitskreis zeichnen. Die Fläche des Einheitskreises die unterhalb der Funktion liegt gehört zur Menge. Problem ist jedoch wie soll ich die Funktion ohne Hilfsmittel zeichnen können? Also ohne Taschenrechner bzw. Computer könnt ich mir nicht vorstellen wie die Funktion aussieht. Natürlich könnte man Testwerte einsetzen oder was würdet ihr empfehlen?

12.03.2014, 18:09

Matheexpress17

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Menge skizzieren mit schwieriger Funktion
Überlege dir doch mal, wie dein Einheitskreis in der komplexen Ebene definiert ist und sezte das für dein z ein.

Gruß

12.03.2014, 18:17

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Einheitskreis ist $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ wenn x: Realteil und y: Imaginärteil aber wie soll ich den Radius dann verarbeiten?

Meine Idee wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+y^2}{|x^2+y^2|+3} =1 \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch habe ich gemerkt weil dann käme ich auf $\begin{eqnarray*} 0=3 \end{eqnarray*}$

12.03.2014, 18:22

Matheexpress17

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist der Einheitskreis definiert. In der komplexen Ebene jedoch kann man ihn mit Hilfe von Polardarstellung auch noch anders darstellen und diese ist dann für diese Aufgabe die interessante und richtige Schreibweise.

12.03.2014, 18:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arnulf 123: Welche "Funktion zeichnen"? Die Formulierung läßt mich befürchten, daß dir nicht so recht klar ist, daß man komplexe Funktionen nicht zeichnen kann, jedenfalls nicht im üblichen Sinn, wie man den Graphen einer reellen Funktion zeichnet.

Ich würde mir lieber über die Abbildung $\begin{eqnarray*} w = f(z) \end{eqnarray*}$ Gedanken machen. Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ in gewohnter Weise als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum auffaßt, dann sind $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ nämlich linear abhängig: $\begin{eqnarray*} w = \lambda(z) \cdot z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda(z) = \frac{1}{|z| + 3} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Der Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda(z) \end{eqnarray*}$ zieht $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zum Ursprung hin. Er ist zwar von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängig, für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf einem Kreis um den Nullpunkt jedoch derselbe. Versuche, dir das geometrisch vorzustellen. Wie groß ist der Skalar insbesondere, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt?

Edit: Variablendreher korrigiert.

12.03.2014, 18:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Menge skizzieren mit schwieriger Funktion
Die Aufgabe ist tatsächlich falsch verstanden:

Zitat:

Original von Arnulf123
Und zwar die Funktion zeichnen, und dann den Einheitskreis zeichnen. Die Fläche des Einheitskreises die unterhalb der Funktion liegt gehört zur Menge.

Das Bild einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter einer Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (die auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ definiert ist), ist nichts anderes als
$\begin{eqnarray*} f(M)=\bigl\{f(z):z\in M\bigr\}\,. \end{eqnarray*}$
Also die Menge, auf welche $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ "unter" (Anwendung von) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

Das "unter" aus der Aufgabenstellung hat nichts mit "unten und oben" bzw. "unterhalb von" zu tun.

12.03.2014, 18:50

Matheexpress17

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja alles richtig, was du da schreibst Leopold.
Jedoch scheint es mir speziell bei dieser Aufgabe einfacher zu sein $\begin{eqnarray*} z= e^{i\alpha } \end{eqnarray*}$ in die Gleichung einzusetzen und das Ergebnis dann im einer komplexen Eben zu zeichnen

12.03.2014, 18:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man das so machen. Dann kommt halt das Richtige heraus. Wenn man sich aber über die Abbildung $\begin{eqnarray*} w=f(z) \end{eqnarray*}$ Gedanken macht, erkennt man mehr, nämlich warum das Richtige herauskommen muß. Im übrigen muß man in der Vorschrift ja nur $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ spezialisieren und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ stehen lassen.

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Menge skizzieren mit schwieriger Funktion

Verwandte Themen