Uneigentliches Integral

12.03.2014, 19:00

robert.fl

Uneigentliches Integral

Meine Frage:
hallo
ich bin robert und ich habe eine frage zum thema uneigentliches integral.
wir hatten folgende aufgabe, an der ich gescheitert bin:

$\begin{eqnarray*} I= \int_2^4 \! \frac{1}{\sqrt[4]{(x-3)²} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
die Funktion ist an der Stelle 3 nicht definiert, also wird das Integral aufgeteilt in $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 3} \int_2^a \! (x-3)^-\frac{1}{2} \, dx + \lim_{a \to 3} \int_a^4 \! (x-3)^-\frac{1}{2} \, dx \end{eqnarray*}$
im nächsten schritt müsste ich im teil 2 bis a rechnen: 2x[wurzel(-1)]
an dieser stelle habe ich die lösung zur hand genommen, dort gab es einen kleinen aber feinen unterschied:
I= $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 3} \int_2^a \! (3-x)^-\frac{1}{2} \, dx + \lim_{a \to 3} \int_a^4 \! (x-3)^-\frac{1}{2} \, dx \end{eqnarray*}$
daraus folgt natürlich 2+2=4
meine Frage: warum ändert sich im ersten Teil (2bis a) bei der funktion das vorzeichen?!? freue mich über jede hilfe
dankedanke
gruß robert
ps: ist nicht ganz offentsichtlich, aber es soll heißen (x-3)[hoch minus ein halb]

12.03.2014, 19:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte: $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{u^2} = \sqrt{|u|} \end{eqnarray*}$ , und nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ negativ werden kann.

Ich würde das anders rechnen: etwas umformen und dann $\begin{eqnarray*} x-3=t \end{eqnarray*}$ substituieren:

$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \frac{\dd x}{\sqrt[4]{(x-3)^2}} = \int_2^4 \frac{\dd x}{\sqrt{\left| x-3 \right|}} = \int_{-1}^1 \frac{\dd t}{\sqrt{|t|}} = 2 \cdot \int_0^1 \frac{\dd t}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$

Das Ganze gilt vorbehaltlich Konvergenz. Das letzte Integral ist aber konvergent, so daß im nachhinein die Umformung gerechtfertigt ist.

13.03.2014, 19:31

robert.fl

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo leopold,
danke für deine antwort, leider muss ich zugeben dass ich noch verwirrter bin. anscheinend fehlen mir da ein paar kentnisse zu dem thema.

14.03.2014, 09:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von robert.fl
meine Frage: warum ändert sich im ersten Teil (2bis a) bei der funktion das vorzeichen?!?

Da hilft eine simple Überlegung: welches Vorzeichen hat x-3, wenn x < 3 ist?
Und etwas Basis-Schulwissen: wenn der Ausdruck unter der Wurzel im Verdacht steht, negativ sein zu können, gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{u^2} = |u| \end{eqnarray*}$
Mithin: wenn klar ist, daß u < 0 ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{u^2} = -u \end{eqnarray*}$ smile

14.03.2014, 11:28

robert.fl

Auf diesen Beitrag antworten »

moin,
jau, vielen dank, mit deiner erklärung sehe ich auf jeden fall was leopold meinte.
ich habe den exponenten einfach weggekürzt, ohne zu bedenken, dass dadurch mit dem betrag des wurzelterms weitergerechnet werden muss
gruß und danke
robert

14.03.2014, 11:38

robert.fl

Auf diesen Beitrag antworten »

also könnte ich (ohne substitution) auch schreiben

$\begin{eqnarray*} I=2\cdot \lim_{a \to 3} \int_a^4 \! \frac{1}{\sqrt{(x-3)}} dx \end{eqnarray*}$ richtig?

14.03.2014, 12:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei das mit dem Faktor 2 einer Begründung bedarf. smile

Genau genommen muß man auch schreiben: $\begin{eqnarray*} I = 2\cdot \lim_{a \sea 3} \int_a^4 \! \frac{1}{\sqrt{(x-3)}} dx \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Uneigentliches Integral

Verwandte Themen