Fourier-Koeffizienten

13.03.2014, 01:44

Gastkonto

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Fourier-Koeffizienten

Hi,

Wink

brauche eure Hilfe
kann folgende Aufgabe nicht lösen (kann mit den gegeben Informationen nichts anfangen).
Ich weiß auch nicht so wirklich wonach ich in meinen Büchern suchen muss um hier zu einem Ergebnis zu kommen unglücklich

unglücklich

Aufgabe:
Gegeben sei eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ periodische Funktion f mit den Fourier-Koeffizienten
a0, a1, . . . und b1, b2, . . . Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten ˜a0, ˜a1, . . . und ˜b1,˜b2, . . . der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , wobei c und d beliebige reellwertige Konstanten sind, $\begin{eqnarray*} c, d\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = cf(x) + d \end{eqnarray*}$

(Tilde soll über den Fourier-Koeffizienten stehen)

13.03.2014, 08:51

klarsoweit

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RE: Fourier-Koeffizienten

Zitat:

Original von Gastkonto
Gegeben sei eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ periodische Funktion f mit den Fourier-Koeffizienten a0, a1, . . . und b1, b2, . . .[/l]

Wie sind denn diese Fourier-Koeffizienten definiert? Die Definition dieser Koeffizienten sollte dir helfen, eine Formel für die Fourier-Koeffizienten ˜a0, ˜a1, . . . und ˜b1,˜b2 zu finden. smile

smile

13.03.2014, 14:07

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x)*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

13.03.2014, 14:19

klarsoweit

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OK. Und jetzt brauchen wir die analoge Formel für die Koeffizienten von g(x).

13.03.2014, 14:37

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} a_0~=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n~=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! g(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n~=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! g(x)*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

13.03.2014, 14:39

Gastkonto

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Über a0,an,bm soll noch ne Tilde

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13.03.2014, 14:45

klarsoweit

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OK. Für nen Querstrich wüßte ich noch was: $\begin{eqnarray*} \overline{a_n} \end{eqnarray*}$

Dann setze mal für g(x) die Funktionsdefinition ein.

13.03.2014, 15:33

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \overline{a_0}=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! cf(x) + d \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! \left[cf(x) + d\right] *cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{b_n}=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! \left[cf(x) + d\right] *sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

13.03.2014, 15:46

klarsoweit

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OK. Dann greifen wir uns mal $\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! cf(x) + d \, dx \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du mit den bekannten Integrationsregeln noch etwas auseinanderdröseln.

13.03.2014, 16:13

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! cf(x) + d \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$

14.03.2014, 08:42

klarsoweit

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OK. Das 1. Integral kannst du mal mit a_0 vergleichen. Gibt es da Ähnlichkeiten? Das 2. Integral läßt sich bequem ausrechnen. smile

smile

14.03.2014, 14:00

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{\overline{a_0}}{c} \end{eqnarray*}$

14.03.2014, 14:52

klarsoweit

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Das stimmt da wohl nicht ganz, denn schließlich hast du ja bei $\begin{eqnarray*} \overline{a_0} \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$ hintendran, das du - wie ich schon sagte - noch ausrechnen kannst.

14.03.2014, 15:41

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{\overline{a_0}}{c}+\frac{d\pi}{c} \end{eqnarray*}$

15.03.2014, 10:17

klarsoweit

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Hm. Vielleicht fangen wir nochmal mit dem an:

Zitat:

Original von Gastkonto
$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ kannst du c * a_0 schreiben und jetzt rechne mal ordentlich das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$ aus.

15.03.2014, 14:04

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}* \int_{-\pi}^{\pi} \! d \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}*2d\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +2d \end{eqnarray*}$ //// $\begin{eqnarray*} *\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\overline{a_0}}{c} = \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{2d}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\overline{a_0}}{c} = a_0 +\frac{2d}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = a_0*c +2d \end{eqnarray*}$

15.03.2014, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
$\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = \frac{c}{\pi}*\int_{-\pi}^{\pi} \! f(x) \, dx +\frac{1}{\pi}*2d\pi \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle kannst du direkt $\begin{eqnarray*} \overline{a_0} = a_0*c +2d \end{eqnarray*}$ folgern. Der Rest dazwischen ist überflüssig und dient nur zur Verwirrung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt mußt du noch ähnliches für $\begin{eqnarray*} \overline{a_n} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \overline{b_n} \end{eqnarray*}$ machen.

16.03.2014, 15:17

Gastkonto

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Für a_n habe ich folgendes heraus bekommen:

$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=a_n*c+\frac{2d*sin(\pi*n)}{\pi*n} \end{eqnarray*}$

16.03.2014, 15:46

Gastkonto

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Für $\begin{eqnarray*} \overline{b_n} \end{eqnarray*}$ habe ich folgendes heraus bekommen:

$\begin{eqnarray*} \overline{b_n}=b_n*c \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Ergebnisse?

17.03.2014, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=a_n*c+\frac{2d*sin(\pi*n)}{\pi*n} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle kannst du dir noch überlegen, was $\begin{eqnarray*} sin(\pi \cdot n) \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2014, 13:53

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=a_n*c+\frac{2d*sin(\pi*n)}{\pi*n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=a_n*c+\frac{2d*0}{\pi*n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_n}=a_n*c \end{eqnarray*}$

Danke smile

smile

17.03.2014, 13:57

klarsoweit

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OK.

Freude

1

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