Satz von Cayley-Hamilton

13.03.2014, 11:47	r4ndom19	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Cayley-Hamilton Hallo, der Satz von Cayley Hamilton besagt ja folgendes. Sei F: V->V ein K-linearer Endomorphismus mit dim V endlich. Dann ist F Nullstelle seines charakteristischen Polynoms. Ich wüsste nun gerne, wo der Fehler im folgendem Fall liegt: Sei $\begin{eqnarray} \lambda_{F}(X) \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom von f. $\begin{eqnarray} \lambda_{F}(X)= det(F-XID) \end{eqnarray}$ Wenn man nun die zu f gehörige Matrix F_A betrachtet ergibt sich: $\begin{eqnarray} \lambda_{F_A}(F_A)= det(F_A-F_AID)=det(F_A-F_A)=det(0)=0 \end{eqnarray}$ Uns wurde gesagt dieser Beweis ist falsch. Warum ist dies so?
13.03.2014, 12:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichnungen: ------------------------ - F=Matrix - $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ =Eigenwerte von F ------------------------- Offenbar gilt für jeden beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underbrace{(a_0+a_1\lambda_i+a_2\lambda_i^2+...+a_n\lambda_i^n)}_{\text{charakteristisches Polynom}}\vec x=0\cdot \vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ In deinem Beweis hast du im obigen charaketristischen Polynom die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ mithilfe der Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray} F\vec x_i=\lambda_i \vec x_i \end{eqnarray}$ ersetzt. Diese Eigenwertgleichung gilt aber nur für die Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \vec x_i \end{eqnarray}$ und keineswegs für alle Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ . Darin liegt der Fehler, denn der Satz von Carley-Hamiltion behauptet, dass folgende Gleichung für beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a_0+a_1F+a_2F^2+...+a_nF^n)\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$
13.03.2014, 12:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der fehler liegt eher darin, dass $\begin{eqnarray} \lambda_F(X) \end{eqnarray}$ nunmal ein Polynom in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, das nur für Skalare durch $\begin{eqnarray} \lambda_F(X)=\det(F-X\operatorname{Id}) \end{eqnarray}$ gegeben ist. Diese Gleichheit nutzt man zur Definition des charakteristischen Polynoms. Dann ist es aber wie gesagt ein Polynom und man setzt Matrizen in das Polynom, nicht in die Determinantendarstellung ein. Insbesondere sollte $\begin{eqnarray} \lambda_F(F_A) \end{eqnarray}$ eine "Matrix-Null" (also die Nullmatrix) ergeben, keine skalare Null.
13.03.2014, 13:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@CheNetzer Das Gleichsetzen eines Skalars mit einer Matrix in der symbolischen Identität $\begin{eqnarray} \lambda_i=F \end{eqnarray}$ ist erlaubt, wenn man berücksichtigt, das dies nur für Eigenvektoren gilt. Einsetzen dieser Identität $\begin{eqnarray} \lambda_i=F \end{eqnarray}$ in die Gleichung $\begin{eqnarray} \det(F-\lambda E)=0 \end{eqnarray}$ ergibt in der Tat $\begin{eqnarray} \det(F-FE)=\det(F-F)=\det(0)=0 \end{eqnarray}$ , was ebenfalls richtig ist. Leider ist damit die Gültigkeit des Satzes von Carley-Hamilton nur für Eigenvektoren bewiesen, nicht aber für alle Vektoren. Diese Unvollständigkeit ist der Fehler.
13.03.2014, 14:35	r4ndom19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok aus euren Beiträgen wurde mir nun klar, warum der Beweis so unsinn ist. Danke

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