Deutung linearer Abbildungen

13.03.2014, 12:15	Intrepiti	Auf diesen Beitrag antworten »
Deutung linearer Abbildungen Hallo! Wie kann man sich lineare Abbildungen veranschaulichen bzw. beschreiben? Es geht um Abbildungen wie $\begin{eqnarray} x=(x_1, x_2, x_3) -> Ax= \begin{pmatrix} cos(a)x_1 - sin(a)x_2 \\ sin(a)x_1 + cos(a)x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Offenbar bleibt die x3 Koordinaten gleich. Die anderen beiden werden wohl irgendwie gedreht, aber wie?
13.03.2014, 13:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein ordnet eine Abbildung innerhalb eines Vektorraumes einem gegebenen "Vektorpfeil" einen neuen "Vektorpfeil" zu. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Deine spezielle Abbildung beschreibt die Drehung aller Vektoren um die z-Achse um den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , wobei sich die 3-Komponente aller gedrehten Vektoren offenbar nicht ändert, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\begin{matrix}\text{Abbildungsmatrix}\\\text{ }\end{matrix}}\underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\begin{matrix}\text{Vektor vor der}\\\text{Drehung}\end{matrix}} =\underbrace{\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}}_{\begin{matrix}\text{Vektor nach der}\\\text{Drehung}\end{matrix}} \end{eqnarray}$
13.03.2014, 14:07	Intrepiti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, und wie sehe ich, dass durch cos(a) - sin(a) und sin(a) + cos(a) eine Drehung um die z-Achse vorgenommen wird?
13.03.2014, 14:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendet man die Abbildung auf die 3 Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \end{eqnarray}$ an, die in die Koordinatenrichtungen zeigen, ergibt sich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec e_1}= \begin{pmatrix} \cos(\phi)\\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec e_2}= \begin{pmatrix} -\sin(\phi)\\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec e_3}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Anhand der ersten beiden Gleichungen sieht man, dass die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_1, \vec e_2 \end{eqnarray}$ um den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gedreht werden. Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec e_3 \end{eqnarray}$ wird durch die Drehung offenbar nicht beeinflusst.
13.03.2014, 17:11	Intrepiti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, okay, das macht es noch etwas verständlicher. Aber was ich noch immer nicht verstehe, ist: Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\phi)\\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Drehung ausführt? und: In welche Richtung (Uhrzeigersinn oder gegen Uhrzeigersinn?) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\sin(\phi)\\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Liegt hier dann eine Richtung IM Uhrzeigersinn vor, oder gegen den Uhrzeigersinn?
17.03.2014, 11:09	Intrepiti	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
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17.03.2014, 11:15	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehos hat die Frage doch schon beantwortet. Hier liegt im übrigen keine Matrix mehr vor. EDIT: Es mag sein das ich dich falsch verstanden habe. Dann schau dir mal die Definition des Sinus/Kosinus am Einheitskreis an.
17.03.2014, 11:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
@Intrepiti: Um das nochmal deutlich zu machen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\phi)\\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat die Länge 1 und ist der um den Winkel phi gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das kannst du dir leicht klar machen, wenn du das mal ins Koordinatensystem einzeichnest.

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