logistisches Wachstum

13.03.2014, 17:54

Bonheur

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logistisches Wachstum

Guten Tag. Ich wollte fragen, wie diese Formel zustande kommt.

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot t}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

Idee:

Da die Funktion zu Beginn exponentiell wächst, würde gelten:

$\begin{eqnarray*} q(t)=e^{k \cdot t} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine andere Idee. unglücklich

unglücklich

Vielen Dank

13.03.2014, 18:34

tigerbine

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RE: logistisches Wachstum
Es kenne sie in der Form

$\begin{eqnarray*} B(t)=\frac{S}{1+\left( \frac{S}{B(0)} -1\right) \cdot e^{-rt}} \end{eqnarray*}$

mit S als oberer Schranke und B(0) als Anfangsbestand und r als Wachstumsfaktor.

13.03.2014, 18:34

Bonheur

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In meinem Buch hat sie die oben erwähnte Form. verwirrt

verwirrt

13.03.2014, 18:38

tigerbine

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Wird ähnliche Bedeutung haben denke ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sind ja nicht soooo verschieden.

Logistisches Wachstum ist die Verknüpfung von exponentiellen Wachstum und beschränktem Wachstum.

13.03.2014, 18:40

Dopap

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RE: logistisches Wachstum

Zitat:

Original von Bonheur

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot t}} \end{eqnarray*}$

das nennt man logistisches Wachstum. z.b den Bestandsverlauf von neuen Wirtschaftsgütern wie Handys.

Am Anfang wenig dann maximal steigend und sich dann einer Sättigungsgrenze nähernd.

a> 0 = Sättigungsgrenze , b>0 und k>0

was ist denn der Grenzwert für x --> unndlich und für x--> minus unendlich ?

--------- edit: ein bischen spät, sorry

13.03.2014, 18:45

Bonheur

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Verstehe.

Für beschränktes Wachstum gilt:

$\begin{eqnarray*} N(t)=S-B(t) \end{eqnarray*}$

Für unbegrenztes Wachstum gilt:

$\begin{eqnarray*} B(t)=B(0) + b \cdot e^{k \cdot t} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun beides miteinander verknüpfen ? verwirrt

verwirrt

@Dopap

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot t}}=\frac{a}{1} \end{eqnarray*}$

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13.03.2014, 19:53

tigerbine

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RE: logistisches Wachstum

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} B(t)=\frac{S}{1+\left( \frac{S}{B(0)} -1\right) \cdot e^{-rt}} \end{eqnarray*}$

mit S als oberer Schranke und B(0) als Anfangsbestand und r als Wachstumsfaktor.

beschränktes Wachstum

$\begin{eqnarray*} B(t)=(B(0)-S)\cdot e^{-rt} +S \end{eqnarray*}$

exponentielles Wachstum

$\begin{eqnarray*} B(t)=B(0) \cdot e^{rt} \end{eqnarray*}$

Wie es genau zu der Kombination kommt kann ich dir im Moment nicht sagen. Du kannst aber z.B. die Eigenschaften überprüfen.

13.03.2014, 20:06

Bonheur

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Ich muss das unbedingt mit der Herleitung können, dass erwartet mein Lehrer von mir. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von tigerbinde
Wie es genau zu der Kombination kommt kann ich dir im Moment nicht sagen. Du kannst aber z.B. die Eigenschaften überprüfen.

Meinst du Wendepunkt, Grenzbestand und Anfangsbestand untersuchen ?

13.03.2014, 20:27

Dopap

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den Grenzbestand hast du ja schon bestimmt =a

Der Anfangsbestand = N(0) ist ja auch kein Problem.

13.03.2014, 20:44

Bonheur

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Anfangsbestand:

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0)=\frac{a}{1+b \cdot e^{-k \cdot 0}}=\frac{a}{1+b} \end{eqnarray*}$

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} N'(t)=\frac{a \cdot b \cdot k \cdot e^{-k \cdot t}}{(1+b \cdot e^{-k \cdot t})^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N''(t)=\frac{-abk^{2} \cdot e^{-k \cdot t}(1-be^{-kt})}{(1+b \cdot e^{-k \cdot t})^{3}} \end{eqnarray*}$

Satz des Nullproduktes:

$\begin{eqnarray*} N''(t)=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Frage zu dem und zwar, habe ich gelernt, dass wenn der Zähler null ist, dass der Quotient auch null wird. Wie ist es aber, wenn der Nenner auch null wird ?

13.03.2014, 20:52

Dopap

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na, nicht gleich Nebenschauplätze aufmachen. ( später !)

Wie lautet jetzt der Wendepunkt ?

13.03.2014, 21:06

Bonheur

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OK.

smile

Bei mir laggt ein wenig die Seite, die Aktualisierungsdauer ist relativ langsam. unglücklich

unglücklich

Deshalb verzögern sich meine Antworten. Tut mir leid, dafür.

Ich vermute, dass man nur diesen Teil betrachten kann. smile

smile

$\begin{eqnarray*} N''(t)=\frac{-abk^{2} \cdot e^{-k \cdot t}(1-be^{-kt})}{(1+b \cdot e^{-k \cdot t})^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N''(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-be^{-kt}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -be^{-kt}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-kt}=\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -kt=ln\left(\frac{1}{b}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{ln\left(\frac{1}{b}\right)}{-k} \end{eqnarray*}$

13.03.2014, 21:18

Dopap

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etwas schöner: $\begin{eqnarray*} t_w=\frac {\ln(b)}{k} \end{eqnarray*}$

das einsetzen in N(t) kannst du später noch überprüfen:

$\begin{eqnarray*} N(t_w)=\frac a2 \Rightarrow W\left(\frac {\ln(b)}{k}, \frac a2 \right) \end{eqnarray*}$

und als Zugabe die maximale Steigung $\begin{eqnarray*} N'(t_w)=\frac {ka}{4} \end{eqnarray*}$

sollen wir jetzt noch die hinreichende Bedingung und das mögliche Problem mit Zählernullstelle = Nennernullstelle behandeln ?

13.03.2014, 21:32

Bonheur

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Verstehe.

Das ist echt etwas phänomenales. Zu Beginn denkt man sich, dass die Funktion unbegrenzt exponentiell wächst, dann existiert ein Wendepunkt und es kommt zum Grenzbestand.

Wir können uns gerne nun den anderen Fall ansehen. smile

smile

13.03.2014, 21:48

Dopap

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a.) zum Wendepunkt: es fehlt noch die hinreichende Bedingung: $\begin{eqnarray*} N'''(t_w)\neq 0 \end{eqnarray*}$

des öfteren wird in Aufgaben gesagt: darauf kann verzichtet werden!

das braucht man aber nicht unbedingt, es genügt, dass die Nullstelle der zweiten Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat. Wie kann man da ohne Rechnung einfach argumentieren ?

b.) zur Nennernullstelle: ohne Einsetzen von $\begin{eqnarray*} t_w \end{eqnarray*}$ kann man doch sagen, dass unter den Voraussetzungen ( b>0 ) der Nenner von N''(t) überhaupt nie Null wird. Warum ?

13.03.2014, 21:57

Bonheur

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a) Vielleicht mit der Zeichnung. Big Laugh

Big Laugh

b) Ich denke, weil wenn b > 0 ist, dann kann der Nenner nicht null werden, weil man einerseits nicht subtrahiert, sondern addiert und wenn man für t = 0 einsetzt, müsste man b mit eins multiplizieren, man hat nie den Fall, dass man b mit null multiplizieren muss.

13.03.2014, 22:21

Dopap

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a.) bei der Nullstelle hatten wir: $\begin{eqnarray*} e^{kt}-b=0 \end{eqnarray*}$

dieser Schnitt mit y=0 muss einen Vorzeichenwechsel haben, da exp(kt) streng monoton ist.

b.) Dein Beitrag ist etwas unklar. $\begin{eqnarray*} be^kt>0 \end{eqnarray*}$ für alle t. Also "ausführlich":

$\begin{eqnarray*} \underbrace {1+\underbrace {b\cdot \exp(-kt)}_{>0}}_{\neq 0} \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du hoffentlich fit für Lehrerfragen smile

smile

oder ?

13.03.2014, 22:31

Bonheur

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Verstehe.

smile

Ich gehe jetzt schlafen. Ich hoffe, dass ich das morgen gut präsentiere. smile

smile

Vielen Dank für alles, Gute Nacht. Wink

Wink

13.03.2014, 22:44

Dopap

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Viel Erfolg Freude

Freude

14.03.2014, 12:49

mYthos

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RE: logistisches Wachstum

Zitat:

Original von tigerbine
...
beschränktes Wachstum

$\begin{eqnarray*} B(t)=(B(0)-S)\cdot e^{-rt} +S \end{eqnarray*}$

exponentielles Wachstum

$\begin{eqnarray*} B(t)=B(0) \cdot e^{rt} \end{eqnarray*}$

Wie es genau zu der Kombination kommt kann ich dir im Moment nicht sagen. Du kannst aber z.B. die Eigenschaften überprüfen.

Das Wesentliche bei der logistischen Wachstumsfunktion ist die Abhängigkeit der Wachstumsgeschwindigkeit (Bestandsänderung mit der Zeit) von zwei Parametern, nämlich vom

- momentanen Bestand
und dem
- Sättigungsmanko

Die damit erstellte Differentialgleichung liefert als Lösung die logistische Wachstumsfunktion. Dies wurde auch im untenstehenden Thread sehr genau besprochen, er kann bei Interesse zur Lösungsfindung beitragen.

logistisches Wachstum

mY+

14.03.2014, 12:59

tigerbine

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RE: logistisches Wachstum
Wie schön, dass wir da schon mal drüber gesprochen hatten... smile

smile

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