Ein paar integral-Probleme

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12.08.2004, 15:07	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar integral-Probleme Moin.. lerne grad HM (Analysis) für Informatiker und knabbere an einigen Integralen, die unter den übungsaufgaben sind, von denen ich leider nur die Lösungen aber keine Lösungswege und in den Beispielen davor auch keine ähnlichen Aufgaben finde. vielleicht kann jemand mir ja helfen, etwas zu verstehen? Aufg. 1: $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{ae^{mx} + be^{-mx}}~dx \end{eqnarray}$ Hier habe ich angefangen $\begin{eqnarray} ae^{mx} + be^{-mx} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} a(cos(x) + m~sin(x)) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b(cos(x) - m~sin(x)) \end{eqnarray}$ aufzulösen, brachte mich aber auch nicht an ein Ergbenis. Aufg. 2: $\begin{eqnarray} \int\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}~dx \end{eqnarray}$ dachte hier an erweitern mit $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x} \end{eqnarray}$ so daß ich unten nur noch 1-x dastehen habe. Aber das bringt mich genauso wenig weiter wie es mich substituion von $\begin{eqnarray} u = \sqrt{1-x} \end{eqnarray}$ oder ähnlichem gebracht hat. wo hänge ich da? Aufg 3: $\begin{eqnarray} \int x^2\sinh(x)~dx \end{eqnarray}$ hier fehlen mir vor allem ein paar Ideen, wie ich die sinusse und cosinusse vernünftig umformen kann... Wäre euch sehr dankbar für ein paar Infos, die mir wahrscheinlich weiterhelfen so daß ich auch die restlichen übungsaufgaben gut lösen kann... Grüße, Julian
12.08.2004, 18:04	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int x^2\sinh(x)~dx \end{eqnarray}$ Sollte mit 2maliger partieller Integration schnell zu lösen sein. Die Substitutionen oben fallen mir so schnell nicht ein.
12.08.2004, 20:39	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo hds, wenn du Aufgabe 1 wie folgt umwandelst, kannst du sie bestimmt lösen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~exp(mx)/(b+aexp(2mx))~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{mb}\int_{}^{}~1/(1+au^2/b)~du \end{eqnarray}$ Bei Aufgabe 2 würde ich mit $\begin{eqnarray} \sqrt[]{1+x} \end{eqnarray}$ erweitern: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{x(1+x)}{\sqrt[]{1-x^2}}~dx \end{eqnarray}$ wenn du die Integral aufteilst kann man einmal u=1-x^2 substituieren und beim zweiten ist x=sin(z) günstig, da cos²(z)=1-sin²(z) gilt. Das Ganze vereinfacht sich zu: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int_{}^{}~1/\sqrt{u}~du+\int_{}^{}~\sin^2(z)~dz \end{eqnarray*}$ Das Lösen überlasse ich allerdings dir.
13.08.2004, 11:18	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, zu Aufg. 1 habe ich nicht ganz verstanden... Wie wandelst du $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{ae^{mx}+be^{-mx}} \end{eqnarray}$ denn nach $\begin{eqnarray} \int~\frac{e^{mx}}{(b+ae^{2mx})} \end{eqnarray}$ um? zu Aufg. 2: da war ich mir eben auch nicht ganz sicher... ist $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x} \sqrt{1+x} = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ wirklich richtig? weil dann kann ich auch einfach partiell integrieren und $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ nach arcsin x auflösen... ansonsten vielen Dank, Julian
13.08.2004, 15:10	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Julian, ich habe das bei Aufgabe 1 folgendermaßen umgewandelt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{aexp(mx)+bexp(-mx)}~dx= \int_{}^{}~\frac{1}{exp(-mx)(aexp(2mx)+b)}~dx \end{eqnarray}$ Zu Aufgabe 2: $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x} \sqrt{1-x}= \sqrt{(1+x)(1-x)}= \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Das Integral kann man natürlich auch aufteil und einmal bzw. zweimal partiell integrieren. Wenn man die Gegebenheit: sin²(z)=1/2(1-cos(2z)) verwendet spart man sich die partiellen Integrationen allerdings. Gruß Jan
13.08.2004, 22:10	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin Vielen Dank für die Hinweise. Sie bringen mich auch generell ein Stück weiter.. Nun habe ich aber folgendes Problem: die Musterlösung für Aufg. 2 bringt mir als Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\arcsin(x) - \frac{x+2}{x}\sqrt{1-x^2} C \end{eqnarray}$ Leider komme ich nicht in die Nähe dieser Lösung. Ich nehme mal an, daß das C ein Druckfehler ist. Aber wie der Rest? Wenn ich Auflöse komme ich erstmal auf $\begin{eqnarray} \frac{x(1+x)}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray}$ . von daher habe ich angefangen, partiell zu integrieren. Erster Schritt dort: $\begin{eqnarray} (x+x^2)\arcsin(x) - \int~(2x+1)\arcsin(x) \end{eqnarray}$ . Da komme ich aber in Probleme weil arcsin x zwei mal zu integrieren a) lästig ist und b) absolut nicht auf das Ergebnis kommt. Mein anderer Gedanke war, den Zähler des Ursprungsbruchs extra partiell zu integrieren. aber da komme ich auf sowas wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^2(1+x)-\int{x} \end{eqnarray}$ . da komme ich dann auch nicht in Richtung ergebnis.. Was mache ich falsch? Wo fehlt mir noch der Ansatz? Irgendwie fehlt mir noch das richtige Gefühl für solche Aufgaben. Zu Aufgabe 1 übrigens: Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{m\sqrt{ab}}\arctan(e^mx\sqrt{\frac{a}{b}} \end{eqnarray}$ . Nach der Anfänglichen Umformerei habe ich ehrlich gesagt keine Idee, wie ich da hin komme. vor allem der arctan ist mir schleierhaft, weil wir ja quasi nur e-funktionen haben... Vielen Dank nochmal für Infos
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14.08.2004, 00:33	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Julian, die partielle Integration würde ich bei keiner der Aufgabe benutzen. Wenn du dir nochmal meine erste Antwort anguckst,siehst du die jeweilige substituierte Integrale.Ich schreibe dir jetzt die einzelnen Substitutionen für die Aufgaben auf. Aufgabe 1: umwandeln, mit u=exp(mx) substituieren, entweder Formel für int(1/(1+u^2),du) verwenden oder nochmal mit a/bu^2=tan(z) substituieren (würde die Formel verwenden, spart Zeit und verwirrt nicht noch zusätzlich). $\begin{eqnarray} \frac{1}{mb}\int_{}^{}~\frac{1}{1+a/bu^2}~du=\frac{1}{\sqrt{ab}m}\int_{}^{}~\frac{1}{1+z^2}~dz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=exp(mx) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=\sqrt{a/b}u \end{eqnarray}$ Aufgabe 2: wenn du wieder meine erste Antwort betrachtest,wirst du sehen, dass das zu lösende Integral stark vereinfach ist. Bei sin²(z) kannst du entweder partiell Integrieren oder einfach den geometrischen Zusammenhang sin²(z)=1/2(1-cos(2z)) einsetzten. In die Lösungen setzt du dann nur noch die Substitutionen ein: $\begin{eqnarray} u=1-x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=arcsin(x) \end{eqnarray}$ Was du auch noch wissen musst, ist folgender Zusammenhang $\begin{eqnarray} sin(2z)=2sin(z)cos(z)=2sin(arcsin(x))cos(arcsin(x))=2x\sqrt<br /> {1-x^2} \end{eqnarray*}$ Das sollte zum Lösen ausreichen. Gruß Jan
14.08.2004, 09:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht! Ist eigentlich vorausgesetzt, daß a,b gleiche Vorzeichen haben (z.B. a,b>0)? Wenn ja, dann bitte solche Angaben bei der Fragestellung mit angeben. Wenn nein, dann gelten die Ausführungen von Harry Done nur für die Fälle I a,b>0 und II a,b<0. Was ist aber, wenn eine der beiden Parameter 0 wird oder wenn sie verschiedene Vorzeichen haben? Das läuft dann wohl nicht auf den Arcustangens, sondern auf den Logarithmus hinaus.
14.08.2004, 13:16	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Jan, vielen Dank, ich komme langsam aber Sicher ans Ziel. ein paar Verständnisfragen zu Aufg. 2 hätte ich aber noch, vielleicht kannst du mir weiter helfen... ich habe nun bis zu $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\arcsin{x}+\int\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}} \end{eqnarray}$ aufgelöst. Frage 1: wenn ich nun das hintere Integral zu X re-substituiere, muß ich dann nicht auch das du hinten zu dx rücksubstituieren? (also du=2xdx) und kommt dann nicht $\begin{eqnarray} \int\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{1-x^2}}~2xdx \end{eqnarray}$ raus? oder was passiert mit den 2x? Ansonsten komme ich dann beim weiteren auflösen (und auslassen der 2x) und substituieren von x durch sin z auf $\begin{eqnarray} \int\frac{\sqrt{\sin^2(z)}}{\sqrt{\cos^2{z}}} \end{eqnarray}$ . das gibt, oder irre ich mich? nach Auflösen der quadrate sin(z) / cos(z) = tan z Was mache ich falsch? Wo hänge ich? Keine ahnung warum ich damit grad so Probleme habe... Wäre aber für Hilfe sehr dankbar Grüße, Julian
14.08.2004, 14:06	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Julian, das Rücksubstituieren von u=1-x² ist du=-2x musst also noch mit -1 multiplizieren: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray}$ jetzt setzt Du wie schon von dir vorgeschlagen x=sin(z) dx=cos(z)dz: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}~dx=-2\int_{}^{}~\frac{\sin^2(z)\cos(z)}{\sqrt{1-\sin^2(z)}}~dz==-2\int_{}^{}~sin^2(z)~dz \end{eqnarray}$ Ich frag mich nur, was dir an meiner ursprünglichen Substitution zu den Integralen: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int_{}^{}~1/\sqrt{u}~du+\int_{}^{}~\sin^2(z)~dz \end{eqnarray}$ nicht gefällt, setzte sin²(z)=1/2(1-cos(2z)) ein und erhalte: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int_{}^{}~u^{-\frac{1}{2}}~du+\int_{}^{}~\frac{1}{2}(1-\cos(2z))~dz \end{eqnarray}$ Das ist doch der schnellste Weg? Solltest du tatsächlich bestimmte Integral berechnen,wie Leopold es angemerkt hat,so könnte man meiner Meinung nach,bei Aufgabe 2 die Analogie: $\begin{eqnarray} arcsin(x)=iln(\pm \sqrt{1-x^2}-ix) \end{eqnarray*}$ verwenden. Gruß Jan
14.08.2004, 15:03	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, vielen Dank, da ich das du falsch rück-aufgelöst hatte , fiel natürlich bei mir das cos(z) nicht raus. Was deine Ursprünglichen Auflösungen anging, das hat sich ja nun auch gelöst. Das ganze ist übrigens nicht bestimmt. es geht um die reine Umformung für die mir irgendwie noch das richtige händchen fehlt. Vielen dank! Ansonsten hänge ich gleich am nächsten: $\begin{eqnarray} \int\frac{x^4}{(x^2-1)(x+2)} \end{eqnarray}$ ... Mal wieder fehlt mir ein Ansatz um auf die lösung $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{2}-2x+\frac{1}{6}\ln\frac{\mid x-1 \mid (x+2)^3 2}{\mid x+1 \mid^3} \end{eqnarray}$ zu kommen... Substituieren durch x²? Dann komme ich auf mehrere Wurzeln im Nenner, bringt mich also nicht so sehr weiter.. Partiell integrieren? Klingt einleuchtend, bringt mich aber nicht irgendwie in die Nähe der eigentlichen Lösung... Genauso wie mir eine Lösung zu $\begin{eqnarray} \int\frac{\arcsin(x)}{x^2} \end{eqnarray}$ nicht einfallen will... (Substituieren? Aber durch was? 2x partiell integrieren gibt mir mit dem Arcsin probleme... Noch ne idee? Langsam stehe ich echt in deiner Schuld, aber meine Materialien hier sind irgendwie nicht drauf ausgelegt, mir tollen Hinweise zu geben
14.08.2004, 16:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man bei der zweiten Aufgabe vom angegebenen Ergebnis her denkt (es enthält allerdings einen Schreibfehler), kommt man auf die folgende Lösung. Die Idee mit der partiellen Integration ist nämlich gar nicht so schlecht, nur muß man den "richtigen" Faktor auswählen. Man macht zunächst die folgende Beobachtung: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left( -\sqrt{1-x^2} \right) \ = \ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray}$ Damit kennt man eine Stammfunktion der rechten Seite dieser Gleichung. Und dies macht man sich jetzt zunutze. In der folgenden Rechnung wird in der zweiten Zeile das zweite Integral nach der obigen Regel partiell integriert, von der dritten auf die vierte Zeile werden die beiden Integrale zu einem zusammengefaßt. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}~dx \ = \ \int_{}^{}~\frac{x^2+x}{\sqrt{1-x^2}}~dx \ = \ \int_{}^{}~\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x(x+2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~dx + \frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(x+2)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~dx - \frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}(x+2)+\frac{1}{2}\int_{}^{}~\sqrt{1-x^2}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \ - \ \frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}(x+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{2}\arcsin{x} \ - \ \frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}(x+2) \end{eqnarray}$ Für das neue arcsin-Integral: Substituiere zunächst x=sin t. Dann partiell integrieren (die Stammfunktion von (cos t)/sin²t kann leicht erraten oder in einer Nebenrechnung durch Substitution bestimmt werden). Beachte schließlich sin t = 2·sin(½t)·cos(½t) = 2·tan(½t)·cos²(½t) und substituiere s=tan(½t).
14.08.2004, 16:48	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Bei der ersten Aufgabe habe ich zu erst eine Polynomdivision gemacht, anschließend eine Partialbruchzerlegung unter der Beachtung, dass x^2-1=(x-1)(x+1) ist mit der Bestimmung von drei unbekannten Zähler. Dann kann das Integral als Summe berechnet werden, bei den in der PBZ verwendeten Polstellen habe ich jeweils z=x-a dz=dx substituiert, zum Schluss muss man noch die ln-Therme mit den Log-Regeln zusammenfassen. Du wirst sehen,dass das Integrieren den einfachsten Schritt darstellt. In der zweiten Aufgabe würde ich partiell Integrieren so dass die Ableitung von arcsin(x) in dem entstehenden Integral steht. Ich komme auf: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{arcsin(x)}{x^2}~dx =-\frac{arcsin(x)}{x}+\int_{}^{}~\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} z=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{\sqrt{1-x^2}}{-x}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{arcsin(x)}{x}-\int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}~dz \end{eqnarray*}$ Das Integral mit Formel oder durch z=sin(u) lösen. Gruß Jan
14.08.2004, 17:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Harry Done Vorzeichenfehler!
14.08.2004, 17:16	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, was mir glaube ich entscheidend fehlt, sind diese ganzen Analogien. Wenn ich z.B. x durch Sinx ersetze, dann kriege ich ja arcsin(sin(x)). Ich nehme jetzt mal an, das ergibt 1, aber so richtig konnte ich dazu nichts finden. Wißt ihr eine gute Quelle für diese ganzen Analogien? Fehlt mir nämlich in meiner Literatur (Das Gelbe Rechenbuch + Script von der Uni) leider. Würde mich über hinweise freuen, ansonsten vielen Dank, Grüße, Julian
14.08.2004, 17:25	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
@harry: danke für deinen Ansatz in dieser Arcsin-Aufgabe. Leider kommt da mal wieder ein extrem komisches Ergebnis raus: $\begin{eqnarray} \ln\mid\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\mid - \frac{\arcsin{x}}{x} \end{eqnarray}$ Wie kommt man denn auf den LN vorne?
14.08.2004, 18:22	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Lösung wurde im letzten Schritt nicht mit z=sin(u) substituiert sondern mit z=tanh(u) dz=du/cosh²(u), daraus ergibt sich für das Integral mit der Gegebenheit 1-tanh²(u)=1/cosh²(u): $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~~du=artanh(z) \end{eqnarray}$ mit dem folgenden Zusammenhang gilt: $\begin{eqnarray} artanh(z)=1/2ln(\frac{(1+z)^2}{1-z^2})=ln(\frac{1\pm \sqrt{1-x^2}}{x}) \end{eqnarray*}$ [z=sqrt(1-x^2)] Den Zusammenhang kann man mit der Exponentialschreibweise und der Tatsache cosh²(y)-sinh²(y)=1 herleiten. Gruß Jan
14.08.2004, 19:15	hds	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Jan, vielen Dank, leider kann ich diese ganzen Umwandlungen für die arcsin/arcos/arctan - funktionen nirgendwo finden. kannst du mir da weiter helfen? Grüße, Julian
15.08.2004, 12:59	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, um die ganzen Umformungen zu erhalten, hab ich alle Ausdrücke zurück gerechnet. Da sie immer wieder auftauchen lohnt sich der Aufwand sogar,man muss nur daran denken,das Ergebnis in seine Sammlung aufzuschreiben. Ich zeige dir mal den Weg für meine Umrechnung für arsinh(x) und artanh(x); arcosh(x) kannst du denn ja mal selber versuchen. $\begin{eqnarray} y=artanh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} tanh(y)=x=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^y-e^{-y})=x(e^y+e^{-y}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y(1-x)=e^{-y}(1+x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y+ln(1-x)=-y+ln(1+x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=artanh(x)=1/2ln(\frac{1+x}{1-x}) \end{eqnarray}$ mit (1+x) erweitert kommst du auf den von mir genannten Zusammenhang. $\begin{eqnarray} y=arsinh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sinh(y)=x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{y}=2x+e^{-y} \end{eqnarray}$ Jetzt steht in deiner Formelsammlung mit Sicherheit der Zusammenhang cosh²(y) - sinh²(y)=1 mit x=sinh(y) ergibt sich cosh(y)=sqrt(1+x^2) Wenn man sich die Exponetialschreibweisen anguckt, lässt sich exp(-y) folgendermaßen beschreiben: $\begin{eqnarray} e^{-y}=cosh(y)-sinh(y)= \sqrt{1+x^2}-x \end{eqnarray}$ mit[cosh(y)=sqrt(1+x^2)] folglich ergibt sich: $\begin{eqnarray} y=arsinh(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray*}$ Das kann man auch mit arcsin(x),arccos(x),arctan(x) machen und auch für Aufgaben verwenden wo Ausdrücke wie sinh(arcosh(x)) auftreten, indem man die Log-Schreibweise für arccosh(x) in die Exponetialschreibweise von sinh(y) einsetzt. Gruß Jan

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