Tangentensteigung stetiger Funktionen

14.03.2014, 13:23

Ploki

Tangentensteigung stetiger Funktionen

Meine Frage:
[attach]33575[/attach]

Meine Ideen:
Geometrtisch gesehen ist die Aussage völlig klar. Beim Beweisen scheitere ich leider. Ich hoffe, ich bin zumindest am richtigen Weg.

Fall 1: f ist konstant. klar.

Fall 2: f ist nicht konstant:

Satz von Rolle liefert mir, dass ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f'(c) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun war meine Idee die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,c] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [c,b] \end{eqnarray*}$ separat zu betrachten. Dabei fällt mir auf, dass $\begin{eqnarray*} f(c)-f(a) = f(c)-f(b) \end{eqnarray*}$ ist. (das erhalte ich natürlich auch aus der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b). \end{eqnarray*}$

Der Zwischenwertsatz liefert mir, dass es ein $\begin{eqnarray*} x_{1} \in (a,c) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f'(x_{1}) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_{2} \in (c,b) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f'(x_{2}) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} \end{eqnarray*}$
Also es gibt also jeweils einen Wert, der die Steigung der Sekante annimmt.

Nun kann ich doch o.B.d.A annehmen dass $\begin{eqnarray*} f(c) \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt ist. Also ist die Steigung der Sekante $\begin{eqnarray*} f'(x_{1}) \end{eqnarray*}$ positiv und die Steigung der Sekante $\begin{eqnarray*} f'(x_{2}) \end{eqnarray*}$ negativ.

Was fehlt mir denn jetzt noch, dass $\begin{eqnarray*} -f'(x_{2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f'(x_{1}) \end{eqnarray*}$ ?

lg Ploki

14.03.2014, 15:14

bijektion

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Zitat:

Nun kann ich doch o.B.d.A annehmen dass $\begin{eqnarray*} f(c) \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt ist. Also ist die Steigung der Sekante $\begin{eqnarray*} f'(x_{1}) \end{eqnarray*}$ positiv und die Steigung der Sekante $\begin{eqnarray*} f'(x_{2}) \end{eqnarray*}$ negativ. Was fehlt mir denn jetzt noch, dass $\begin{eqnarray*} -f'(x_{2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f'(x_{1}) \end{eqnarray*}$ ?

Die Steigung der Sekante muss aber doch nicht unbedingt betragsmäßig gleich sein.

Ich möchte dir vielleicht einen Denkanstoß in eine andere Richtung geben: $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist doch kompakt, und was weiß man über stetige Funktionen auf Kompakten Mengen?

14.03.2014, 15:42

Ploki

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Danke für die schnelle Antwort!

Ja, das war auch mein Gedanke, dass die verschieden sein können.

Meinst du diesen Satz?

Wenn $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ kompakt und $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig, dann existieren $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2} \in [a,b] : f(x_{1}) = min (f([a,b])), f(x_{2}) = max (f([a,b])) \end{eqnarray*}$ ?

Falls Ja, sehe ich leider nicht, was mir das bringen soll?

16.03.2014, 20:12

Ploki

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Also ich hab noch drüber nachgedacht. Finde aber kein passendes Theorem, das mir weiterhelfen könnte. Aber ich hatte eine andere Idee, nämlich die Funktion neu zu betrachten:

Setze $\begin{eqnarray*} m := \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

Wende nun Mittelwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,m] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [m,b] \end{eqnarray*}$ an.
Und damit hab ich 2 Tangenten gefunden, die betragsmäßig die gleiche Steigung haben, oder?

Meine Skizze dazu:
[attach]33597[/attach]

17.03.2014, 22:09

Grautvornix

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Ja, so klappt das!

Die Summe der Sekantensteigungen verschwindet ja, nach Wahl von $\begin{eqnarray*} m\in]a,b[. \end{eqnarray*}$
Und der MWS, angewandt auf die beiden Teilintervalle, besorgt den Rest.

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