Abbildungen: injektiv, surjektiv

14.03.2014, 19:52

JensSkywalker

Abbildungen: injektiv, surjektiv

Nabend zusammen,

ich sitze gerade vor einer Aufgabe und benötige einen kleinen Denkanstoß Augenzwinkern

Und zwar:

Seien: X, Y, Z nichtleere Mengen und
f: x__> y, g: y___> z Abbildungen.

Zeige: Ist g°f surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.

Ich nehme an, dass f surjektiv sein muss, da g°f ja surjektiv ist, denn wäre die Komposition nicht surjektiv, wäre f ja auch nicht surjektiv!?
Ich weiß auch, wie man Injektivität und Surjektivität bei konkreten Abbildungen, z.b: (x-4)³ nachzuweist.
Mein eigentliches Problem ist es, dieses bei verallgemeinerten Abbildungen formell korrekt zu zeigen.

Hat jemand vllt einen kurzen Denkanstoß für mich?
Danke schonmal!

Gruß
Jens

14.03.2014, 20:04

Iorek

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RE: Abbildungen: injektiv, surjektiv

Zitat:

Original von JensSkywalker
Ich nehme an, dass f surjektiv sein muss, da g°f ja surjektiv ist, denn wäre die Komposition nicht surjektiv, wäre f ja auch nicht surjektiv!?

Wieso sollte das denn so sein? Betrachte z.B. einmal $\begin{eqnarray*} f:\{0,1,2\}\rightarrow \{0,1,2,3\},~x\mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:\{0,1,2,3\}\rightarrow \{1\},~x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv, aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht.

Was ist gegeben? $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Was kannst du daraus für Informationen ziehen?
Wo willst du hin? $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv. Wie kann man das anders formulieren (Definition von surjektiv)?

14.03.2014, 20:21

JensSkywalker

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RE: Abbildungen: injektiv, surjektiv
Wieso sollte das denn so sein? Betrachte z.B. einmal $\begin{eqnarray*} f:\{0,1,2\}\rightarrow \{0,1,2,3\},~x\mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:\{0,1,2,3\}\rightarrow \{1\},~x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv, aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht.

Stimmt!

"Was ist gegeben? $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Was kannst du daraus für Informationen ziehen?"

Dass Alle Elemente aus Z mind. 1 mal aus X getroffen werden und dass jedes Element aus X mind. 1 Element in Z trifft.
Dazu wird jedes Element aus Z max. einmal aus Y getroffen.

Die Definition von Surjektivität ist, dass alle Elemente im Wertebereich mind einmal getroffen werden..!? Sprich f(x)=y, y beliebiges Element einer Menge

14.03.2014, 20:27

Iorek

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Das sind höchstens umgangssprachliche Beschreibungen der Begriffe, damit wirst du keinen Beweis führen können. Schlage also die exakten Definitionen von injektiv und surjektiv einmal nach und wende die hier an.

14.03.2014, 20:32

JensSkywalker

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Ok^^

Da f°g surjektiv ist, gibt es ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X mit g°f(x) = g(f(x)), also = g(z) ?

14.03.2014, 20:38

Iorek

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Das ist auch nicht die korrekte Definition. Und was soll g(z) auf einmal sein? Und wo kommt z überhaupt her? unglücklich

Einmal für die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ surjektiv ist:

Für jedes $\begin{eqnarray*} z\in Z \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=z \end{eqnarray*}$ . In Quantorenschreibweise ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} \forall z\in Z~\exists x\in X: (g\circ f)(x)=z \end{eqnarray*}$ .

Das solltest du jetzt für die anderen vorkommenden Begriffe machen.

14.03.2014, 21:09

JensSkywalker

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Für die Voraussetzung, dass g injektiv ist:

Es sind für zwei unterschiedliche Elemente x, x' $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$ auch g(x) ungleich g(x').

Da g injektiv und f°g surjektiv, existiert für jedes y $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$ ein x $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ , mit f(x)=y

Ist das so korrekt?

14.03.2014, 21:28

Iorek

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Zitat:

Original von JensSkywalker
Da g injektiv und f°g surjektiv, existiert für jedes y $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$ ein x $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ , mit f(x)=y

Da vermischst du etwas die Voraussetzungen mit dem was zu zeigen ist, aber damit können wir jetzt arbeiten.

Sei $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt. Du musst jetzt ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ . Dazu könnte man hier z.B. mit einem Widerspruchsbeweis ansetzen, d.h. wir nehmen an, dass kein solches $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ existiert. Bring jetzt die Voraussetzungen ins Spiel, die gegeben sind und versuche das zu einem Widerspruch zu führen.

14.03.2014, 21:37

JensSkywalker

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Komm auch langsam durcheinander Forum Kloppe

Kann ich nicht einfach sagen, sei y $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$
Da g injektiv ist, gibt f(x)=y. Also gibt es ein x $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ mit f(x)=y
Also würde das nicht die Surjektivität von f zeigen, also ohne einen Widerspruch?

14.03.2014, 21:38

Iorek

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Zitat:

Original von JensSkywalker
Da g injektiv ist, gibt f(x)=y. Also gibt es ein x $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ mit f(x)=y

Was hat die Injektivität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ denn damit zu tun? verwirrt

18.03.2014, 17:15

JensSkywalker

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So, sorry erstmal, konnte bis jetzt leider nicht online gehen.

Wenn ich einen Widerspruchsbeweis durchgehen soll, dann würde ich ja annehmen, dass g°f surjektiv, g injektiv und f nicht surjektiv sei.

Sprich, es gibt ein y' $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$ , welches von f nicht getroffen wird.
Da g injektiv ist, exisitiert in der Menge Z ein z', welches von g auf der Anwendung von nur diesem y' getroffen wird. Also hieße das, nicht jedes z aus der Menge Z könnte von der Verkettung beider Funktionen getroffen werden, also muss f surjektiv sein.

Wäre das so richtig?
Gruß

20.03.2014, 22:50

Iorek

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Zitat:

Original von JensSkywalker
Sprich, es gibt ein y' $\begin{eqnarray*} \in Y \end{eqnarray*}$ , welches von f nicht getroffen wird.
Da g injektiv ist, exisitiert in der Menge Z ein z', welches von g auf der Anwendung von nur diesem y' getroffen wird.

Das könnte man noch etwas genauer formulieren, aber das stimmt soweit.

Zitat:

Original von JensSkywalker
Also hieße das, nicht jedes z aus der Menge Z könnte von der Verkettung beider Funktionen getroffen werden, also muss f surjektiv sein.

Auch das würde ich noch genauer formulieren, je nach Korrektor könnte das Punktabzug geben. Der Gedanke geht aber in die richtige Richtung. Freude

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