Konvergenz einer Reihe

15.03.2014, 00:33

Xbf

Konvergenz einer Reihe

Hallo,
ich möchte folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left (2+\frac{1}{n}\right ) ^n} \end{eqnarray*}$

Ich habe das jetzt mit dem Quotientenkriterium probiert. Das ergibt dann bisschen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2(2+\frac{1}{n})^n}{(2+\frac{1}{n+1})(2+\frac{1}{n+1})^n\cdot n^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3}{2n^3+3n^2}\left (\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}\right )^n \end{eqnarray*}$

Ich denke soweit sollte das stimmen. Ich kann von beiden Produkten den Grenzwert bestimmen.
Allerdings nur getrennt. Daher frage ich mich, ob ich bei Aufgaben dieser Form das generell so schreiben darf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3}{2n^3+3n^2}\left (\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}\right )^n=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3}{2n^3+3n^2}\cdot \lim_{n \to \infty}\left (\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}\right )^n=\frac{1}{2}\cdot \lim_{n \to \infty}\left (\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}\right )^n=\frac{1}{2}\cdot e^0=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis stimmt. Ich bin mir unsicher, da ich vor einiger Zeit bei einer ähnlichen Aufgabe wegen so etwas in einer Prüfung Punktabzug bekommen habe. Da habe ich bei einer Multiplikation die Grenzwerte einzeln betrachtet. Da hat auch das Ergebnis gestimmt, aber der Prof meinte, dass das Zufall war, da ein Produkt gegen 1 konvergiert ist, wie es auch hier der Fall ist.
Ich freue mich über eure Aufklärung.
Grüße
Xbf

15.03.2014, 01:04

Ploki

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Hallo Xbf!
Damit deine Summe erstmal Sinn ergibt, musst du dich auf einen Index einigen. Es sollte wohl heissen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left (2+\frac{1}{n}\right ) ^n} \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz zeigst du am einfachsten mit dem Wurzelkriterium. (Tipp: bei einem Ausdruck, der eine n-te Potenz enthält, ist das Wurzelkriterium oft zielführend)

Nun zu deiner Frage bezüglich der Limiten. Es gibt einen Satz mit folgender Aussage:

Sind $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} \cdot b_{n} = \lim_{n \to \infty b} a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$

In deinem Fall weißt du aber nicht, ob deine Folgen konvergieren, also ist dein Schritt nicht legitim.

lg Ploki

15.03.2014, 01:12

Xbf

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Vielen Dank für die Hilfe Ploki.
Dass das Wurzelkriterium besser geeignet ist, kann sehr gut sein. Ebenso, dass die einzelne Betrachtung der Grenzwerte nicht erlaubt ist. Schreibfehler mit dem k ist beseitigt.
Allerdings ist es ja theoretisch auch mit dem Quotientenkriterium möglich.
Verschiedene Computerprogramme sagen, dass sowohl beim Quotientenkriterium, als auch bei dem Wurzelkriterium das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ lautet und somit die Reihe absolut konvergiert.

15.03.2014, 01:16

Ploki

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Du hast natürlich recht! Die Reihe konvergiert! Ich hatte bei meinen Überlegungen Zähler mit Nenner vertauscht xD. Hab den Beitrag oben korrigiert.
Aber rein anschaulich ist es völlig klar, dass Die Reihe konvergiert. 2^n wächst ja viel schneller als n^2. Mit dem Wurzelkriterium ist es in diesem Beispiel aber sehr schnell gezeigt!

lg Ploki

15.03.2014, 01:54

Xbf

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Meine Rechnung ganz oben ist aber doch an sich richtig.
Natürlich weiß ich vorher nicht, ob die Folgen (Produkte) konvergieren, aber am Ende sehe ich ja, dass beide Folgen konvergieren und somit der Schritt beim "Auseinander ziehen" erlaubt war.
Falls eine der beiden Folgen nicht konvergieren sollte, dann muss ich nochmal von vorne anfangen.
Dieser Gedankengang kam mir beim Berechnen vom Wurzelkriterium.
Weil da muss ich ja ähnliches machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | \frac{n^2}{(2+\frac{1}{n})^n}\right |}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{n}}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{\lim_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}}{\lim_{n \to \infty} 2+\frac{1}{n}}=...=\frac{1}{2}e^0=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der Schritt, wo ich für die Quotienten die Grenzwerte einzeln betrachte (anders geht es soweit ich weiß gar nicht) ist nur dann erlaubt, wenn der Nenner nicht gegen 0 konvergiert.
Das weiß ich vorm Berechnen auch nicht. Wobei das natürlich in dieser Aufgabe sehr leicht zu sehen ist.

15.03.2014, 02:38

Ploki

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Du denkst hier ein bisschen verkehrt. Der Gedankengang sollte so sein:

Sind $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen, so gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq k \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} b_{n} \neq 0 \wedge (\frac{a_{n} }{b_{n}})_{n\geq k} \rightarrow \frac{\lim_{n \to \infty } a_{n} }{\lim_{n \to \infty } b_{n}} \end{eqnarray*}$

Das heißt, du musst dir einfach überlegen, ob der Limes des Zählers existiert und ob der Limes des Nenners existiert und ob der Nenner nicht gegen 0 konvergiert. Wenn das der Fall ist, ist der Quotient der Limiten der Limes der Quotienten. Du musst praktisch in diesem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{n}}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{\lim_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}}{\lim_{n \to \infty} 2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

...von rechts nack links denken.

15.03.2014, 09:30

Grautvornix

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Xbf
...Ich habe das jetzt mit dem Quotientenkriterium probiert. Das ergibt dann bisschen umgeformt:...

Für die Argumentation mittels Quot.-Krit. - an der es grundsätzlich nichts auszusetzen gibt - böte es sich an, diese an der Majorante

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

durchzuführen, um dann letztendlich mittels Majorantenkrit. zu schließen.

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