DGL x'=arctan(x)

15.03.2014, 11:33

Der Lustige Peter

DGL x'=arctan(x)

Liebes Matheboard,

Ich quäle mich gerade mit folgender Aufgabe herum:
Für $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelte folgende Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} x'=\arctan(x); x(0)=\xi \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat genau dann eine Nullstelle, wenn $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

So: Hier meine Überlegungen:
Die eine Richtung ist ja quasi trivial. Wenn $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ gilt, hat $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ offensichtlich bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle.
Es ist die andere Richtung, bei der ich die Lösung nicht so ganz sehe. Ich habe mir aber folgendes gedacht:
Die Differentialgleichung lässt sich zumindest theoretisch mittels Trennung der Variablen lösen. Sei dann $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\arctan(x)} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt ferner: $\begin{eqnarray*} x=F^{-1}(t+c) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion habe nun eine Nullstelle. Dann gilt $\begin{eqnarray*} F^{-1}(t+c)=0 \end{eqnarray*}$ . Dies ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} t+c=F(0) \end{eqnarray*}$ . Der Arkustangens ist Punktsymmetrisch zum Urspung, das heißt seine Stammfunktion ist Achsensymmetrisch zur x-Achse und da wir bei der Trennung der Variablen schon $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ den y-Achsenabschnitt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gegeben haben, können wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung verläuft. Es gilt also $\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$ folglich muss $\begin{eqnarray*} c=\xi=0 \end{eqnarray*}$ sein.
Kann man so argumentieren?

Bin für jede Rückmeldung dankbar!
Gruß
Peter

15.03.2014, 12:02

Che Netzer

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RE: DGL x'=arctan(x)

Zitat:

Original von Der Lustige Peter
Die Differentialgleichung lässt sich zumindest theoretisch mittels Trennung der Variablen lösen.

So wird das nichts...

Zitat:

Sei dann $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\arctan(x)} \end{eqnarray*}$ .

Welche?

Zitat:

Dann gilt ferner: $\begin{eqnarray*} x=F^{-1}(t+c) \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich ist keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac1\arctan \end{eqnarray*}$ invertierbar.

Zitat:

Diese Funktion habe nun eine Nullstelle. Dann gilt $\begin{eqnarray*} F^{-1}(t+c)=0 \end{eqnarray*}$ .

Für die betreffende Nullstelle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

Der Rest ist mir völlig unklar.

Man könnte aber erst einmal so tun, als würde man die Aussage widerlegen wollen:
Nehmen wir mal die Lösung zu $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ . Die DGL hängt allerdings nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab, d.h. wir können unsere Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beliebig verschieben und erhalten wieder eine Lösung der DGL. Mit anderen Worten: Auch $\begin{eqnarray*} \tilde x(t):=x(t+t_0) \end{eqnarray*}$ erfüllt die DGL, und zwar zum Anfangswert $\begin{eqnarray*} \tilde x(0)=x(t_0) \end{eqnarray*}$ . Wenn wir aber $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} x(t_0)=:\xi \end{eqnarray*}$ nicht Null ist, hat die Lösung $\begin{eqnarray*} \tilde x \end{eqnarray*}$ von
$\begin{eqnarray*} \begin{cases}\tilde x'=\arctan\tilde x\\\tilde x(0)=\xi\end{cases} \end{eqnarray*}$
eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} -t_0 \end{eqnarray*}$ , denn dort gilt ja $\begin{eqnarray*} \tilde x(-t_0)=x(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wo könnte der Fehler in dieser Argumentation liegen?

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