Extremwertaufgabe Nebenbedingungen aufstellen

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15.03.2014, 17:18	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Nebenbedingungen aufstellen Hallo, Mathematiker! Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter: Löse die Extremwertaufgabe $\begin{eqnarray} min_{x \in R^n} \sum\limits_{i=1}^n ix_i^2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n x_i = 1 \end{eqnarray}$ . Finde die Stelle und Wert des Minimums. Mir ist klar, dass ich für die Lösung die Lagrangemultiplikatoren brauche, aber dafür benötige ich doch n Gleichungen $\begin{eqnarray} g_1(x),...,g_n(x)=0 \end{eqnarray}$ für die Nebenbedingungen. Leider erkenne ich nicht, woraus ich diese hier aufstellen kann. Ihr kennt euch da bestimmt aus? Danke schon für eure Hilfe! LG Studentu
15.03.2014, 17:40	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe eigtl schon n Gleichungen aufgestellt, nämlich: $\begin{eqnarray} f_{x_1}(x_1,...x_n)=2x_1=0 \rightarrow x_1=0, <br /> ...<br /> f_{x_n}(x_1,...,x_n)=2nx_n = 0 \rightarrow x_n = 0 \end{eqnarray}$ , aber dann wären ja die Komponenten alle 0 und das würde nicht mit der Bedingung zusammenpassen, dass die Summe 1 ergibt?
15.03.2014, 19:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal den Fall n=2. Dann kannst du das ganze auf ein eindimensionales Problem reduzieren und die Lösung berechnen. Damit kannst du dann das Lagrange-Verfahren üben $\begin{eqnarray} \min f(x)~\text{ u.d.N. } h(x)=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x):= x_1^2+2x_2^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x):=x_1+x_2 -1 = 0 \end{eqnarray}$ Für die Lösung mittels Lagrange suchen wir $\begin{eqnarray} (x^,\mu^),~\mu \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \nabla f(x^) + \mu^* \cdot \nabla h(x^)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h(x^)=0 \end{eqnarray}$ . Dazu lösen wir die Gradientengleichung in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und ermitteln $\begin{eqnarray} \mu^* \end{eqnarray}$ aus der Zulässigkeitsforderung. Lösung $\begin{eqnarray} \mu^=-\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ und den Lösungspunkt $\begin{eqnarray} x^=(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})^T \end{eqnarray*}$ . 1. Kannst du das nachvollziehen? 2. Kannst du das verallgemeinern?
15.03.2014, 20:32	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Tigerbine, danke für die schnelle Antwort! 1.) Nachvollziehen habe ich es können, also ich habe es nachgerechnet und es ist das Richtige dabei herausgekommen. 2.) Ich glaube, auch das Verallgemeinern hat funktioniert: Mein Ergebnis ist: $\begin{eqnarray} x_j = \frac{1}{j}-\sum_{i=2}^n x_j \end{eqnarray}$ . Stimmt das und ist das das Endergebnis oder lässt sich das noch weiter vereinfachen und noch etwas einsetzen? 3.) Bei diesem Beispiel war es mir jetzt klar, aber hier habe ich ein anderes, bei dem ich tortzdem wieder anstehe: $\begin{eqnarray} m(a):= min 2x + 3y \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x \in R^2, x^2+2y^2 = a \end{eqnarray}$ für a>0. (Allerdings steht nicht dabei, ob a und y aus R oder $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ sind, aber ich habe beides ausprobiert und irgendwie macht es nur für $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ Sinn, kann das sein?) Als Hinweis steht sogar dabei, ich soll $\begin{eqnarray} \frac{dm}{da} \end{eqnarray}$ berechnen, also habe ich nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ abgeleitet, nicht nach $\begin{eqnarray} y_1, y_2 \end{eqnarray}$ , ist das soweit korrekt? Als Nebenbedingung setze ich dann, analog zu dem vorigen Beispiel, $\begin{eqnarray} x^2 + 2y^2 - a = 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_1^2+x_2^2+2y_1^2+2y_2^2 - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Oder ist der Ansatz schon falsch, weil in letzter Gleichung alles eindimensional, aber a zweidimensional ist?
15.03.2014, 21:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinem Ergebnis spielt die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe eine Rolle. Für neue Aufgaben bitte einen neuen Thread erstellen. Danke.
16.03.2014, 12:50	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Tigerbine, also jetzt habe ich zuerst nach $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ statt nach x1 aufgelöst und nun habe ich als letzte Bedingung nur mehr x1 und die harmonische Reihe drinnen, nämlich: $\begin{eqnarray} x_1 \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ = 1. Ist das jetzt so wie bei dir und kannst du mir bitte helfen, das zu vereinfachen? Danke!
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16.03.2014, 13:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme raus $\begin{eqnarray} \mu^ = -\frac{2}{H_n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} H_n \end{eqnarray}$ als harmonischer Partialsumme. und dann $\begin{eqnarray} x_i = - \frac{\mu^}{2i} =\frac{\frac{2}{H_n}}{2i} = \frac{1}{i} \cdot H_n^{-1} \end{eqnarray}$ Habe da auch mal die Probe mit n=3 gemacht.
16.03.2014, 13:18	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, genau das habe ich auch, wenn ich meins bisschen umforme (bei mir war die allererste Umformung nämlich $\begin{eqnarray} \mu = -2x_1 \end{eqnarray}$ und wenn man da bisschen umformt, kommt genau dein Ergenis heraus. Kann man das noch vereinfachen oder sind wir damit fertig?
16.03.2014, 13:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es damit belassen.
16.03.2014, 13:30	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, entschuldige, ist mir erst jz noch aufgefallen: Man soll ja nicht nur die Stelle, sondern auch den Wert des Minimums berechnen und da komm ich durch Einsetzen der $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \frac{1}{(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i})^2}\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ . Lässt sich das noch vereinfachen (weil das ist ja nicht gerade ein anschauliches Ergebnis)? Und muss man noch extra zeigen, dass es sich bei der Extremstelle wirklich um ein Minimum handelt? (Falls ja, muss ich dann dieses unschöne Ergenis zweimal partiell ableiten und zweigen, dass die Determinante dieser Matrix >0 ist, oder?) Danke!
16.03.2014, 13:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich mich erst morgen drum kümmern.
16.03.2014, 13:43	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke! Dann bis morgen! =)
16.03.2014, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Funktion $\begin{eqnarray} f:~\mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)= \sum\limits_{i=1}^n ix_i^2 \end{eqnarray}$ . Für unseren ermittelten Punkt x* gilt $\begin{eqnarray} x_i^= \frac{1}{i} \cdot H_n^{-1} \end{eqnarray}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray} f(x^)= \sum\limits_{i=1}^n i( \frac{1}{i} \cdot H_n^{-1})^2 =\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} \cdot H_n^{-2} \end{eqnarray}$ Da fällt mir nun keine Vereinfachung mehr ein. Nun ist noch die Argumentation offen, dass wir damit das Minimum der Funktion gefunden haben. Eine Möglichkeit http://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix Eine andere Möglichkeit könnte der Ansatz sein, ob es sich um ein konvexes Optimierungsproblem handelt. Hattet ihr da was in der Vorlesung zu? Für mehr bin ich nun zu müde.
17.03.2014, 02:07	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in dieser Form ist mir die Hesse-Matrix nicht bekannt. Was wir gelernt haben, ist: Wenn f konvex und differenzierbar und die Ableitung in x 0 ist, dann ist x Stelle des lokalen Minimums. Wenn die Hessematrix von f in x positiv definit ist, ist dort das lokale Minimum. Den Satz von Kuhn-Tucker, der Ausgangspunkt fürs Lösen konvexer Optimierunsaufgaben ist, haben wir auch gelernt. Hast du den vlt. gemeint? LG
17.03.2014, 10:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben ja ein restringiertes Problem, daher kommen wir imho mit Hesse classic nicht weiter. Ja, ich spiele auf Sätze an, die mit KKT-Punkten zu tun haben. Seien x,y aus ... gegeben mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n x_i = 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n y_i = 1 \end{eqnarray}$ . Dann gilt für ihre Konvexkombination $\begin{eqnarray} z:=\lambda x + (1-\lambda y), \lambda \in (0,1) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n z_i = \sum\limits_{i=1}^n(\lambda x_i + (1-\lambda y_i)) = \lambda \sum\limits_{i=1}^n x_i + (1-\lambda) \sum\limits_{i=1}^n y_i = 1. \end{eqnarray}$ Damit ist die Zulässige Menge konvex. Bzw. die Gleichheitsrestriktion linear mit Vektore (1,...,1). Nun könntest du die Funktion untersuchen, ob sie konvex ist und stetig differenzierbar. Wir haben nur lineare Nebenbedingungen. Dann git es einen Satz/Korrolar, dass x* genau dann ein Minimum ds Problems ist, wenn es Lagrangemultiplikatoren gibt so das $\begin{eqnarray} (x^, \mu^) \end{eqnarray}$ ein KKT-Punkt ist. Hattet ihr den Satz, dass KKT bei konvexen Problemen schon hinreichend ist?
17.03.2014, 23:59	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben gelernt, wenn f und die Nebenbedingungen konvex sind und die Slater-Bedingungen gelten, dann ist x ein globales Minimum von f unter den Nebenbedingungen genau dann, wenn es positive Lagrangeparameter so gibt, dass (x, Lagrangeparameter) Sattelpunkt der Lagrangepunktion ist.
18.03.2014, 20:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du den Rest nach euren Kriterien bearbeiten. Bin nur mit smartfone on,daher kann ich dir gerade nicht mehr schreiben.

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