Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionenscharen

15.03.2014, 17:30

namelessjules

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Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionenscharen

Meine Frage:
Hallo, ich habe wieder einmal eine Frage.

Gegeben ist eine Schar von Exponetialfunktionen fk durch den Funktionsterm

\mp \left(\times \right) = \left(K \times \right)e^{x} /k , K \in \mathbb R

(Ich hoffe, dass es mit Latex klappt, ich mache es zum ersten Mal)
.

Die Graphen seien Gk.

1) Schnittpunkte mit der y-Achse
2) Extrempunkte
3) Wendepunkte

4)Zeigen Sie, dass alle Graphen Gk durch den Punkt (k/0) verlaufen

Meine Ideen:
1) Die Schnittpunkte habe ich bereits berechnet. Ich bringe es jedoch immer durcheinander, wann ich was berechne, also was ich den Schnittpunkt mit der y-Achse habe und wann den mit der x-Achse. Das wäre zu 1) die einzige Frage, die ich habe.

2) Da bleibe ich bei der zweiten Ableitung hängen.
Erste Ableitung:
\left[latex\right] \mp\'\left(\times \right) = \left(\frac{x}{k} \right)e^{\frac{\times }{k} } \left[/latex\right]

Ich habe da die Kettenregel und Produkregel mithilfe meines Lehrers angewandt. Ich würde jetzt genau dieselben Regel für die zweite Ableitung anwenden, aber jedoch keinen Plan, wie ich das genau machen soll.

Würde ich die zweite evt. noch die dritte Ableitungen haben, dann hätte ich kein Problem die Extrempunkte und Wendepunkte zu berechnen.

Bei 4) bin ich komplett ahnungslos. Muss ich den Punkt in irgendeiner Funktion einsetzen?

(FALLS DAS MIT DEM LATEX NICHT GEKLAPPT HAT, TUT ES MIR LEID, DANN WERDE ICH EINE ANDERE LÖSUNG SUCHEN, WIE MIR JEMAND HELFEN KANN. ICH KOMME MIT TECHNIK NICHT SO GUT KLAR, VIELLEICHT KANN MIR DANN JEMAND ERKLÄREN, WAS ICH MACHEN MUSS, SONST IGNORIERT BITTE DIE FRAGE. ICH WEIß NÄMLICH AUCH NICHT, WIE ICH DIE LÖSCHEN KANN.)

15.03.2014, 17:36

Gast11022013

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Um die Formeln zu erzeugen kannst du die Textstelle markieren und dann auf das f(x)-Symbol klicken. In der Leiste über dem Eingabefeld das fünfte Symbol von rechts.
Oder schreibst manuell die Latex-Klammern um die entsprechende Textzeile.

Leider hast du in deinem Code mit Zeichen um dich geworfen, die irgendwie überhaupt nicht passen.
Verwendest du $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ anstelle von x? Du kannst ganz normal x schreiben.
Oder was willst du mit dem $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ am Anfang sagen?
Ansonsten schreibe deine Funktion mal ohne Latex hin. Achte dabei auf notwendige Klammerung.

Edit:

Dein Code sieht nämlich beispielsweise so aus

$\begin{eqnarray*} \mp \left(\times \right) = \left(K \times \right)e^{x} /k , K \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

15.03.2014, 17:45

namelessjules

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Ich werde es noch einmal versuchen. Ich hoffe, dass es diesmal klappt.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)e^x:k \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist die Funktion:
f(x)=(k-x)e^x/k

Die erste Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(-x/k)e^x:k \end{eqnarray*}$

oder:

f'(x)=(x/k)e^x/k

Die Vorschau zeigt es zum Teil richtig an. Jedoch ist das ''k'' am Ende bei der Funktion sowie bei der Ableitung noch mit im Exponenten und eine Division und bei der Ableitung in der Klammer ebenfalls eine Division.

15.03.2014, 17:56

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)\frac{e^x}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Einen Bruch stellst du mit \frac{a}{b} dar.

Deine Ableitung sollte nicht richtig sein. Wie rechnest du?

15.03.2014, 18:12

namelessjules

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Ich habe die Anfangsfunktion aufgeteilt, also:
$\begin{eqnarray*} u(x)=e\frac{x}{k}=e^x*k^-1 \end{eqnarray*}$

(das k^-1 muss mit in den Exponenten)

davon ist die erste Ableitung:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^x*k^-1*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

k^-1 mit in den Exponenten

$\begin{eqnarray*} v(x)=\frac{x}{k} \end{eqnarray*}$

Ableitung:
$\begin{eqnarray*} v'(x)=x*k^-1 \end{eqnarray*}$

Danach hat mein Lehrer die Ableitung an die Tafel geschrieben, wie er darauf gekommen ist, weiß ich nicht.

15.03.2014, 18:15

namelessjules

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Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)\frac{e^x}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Einen Bruch stellst du mit \frac{a}{b} dar.

Deine Ableitung sollte nicht richtig sein. Wie rechnest du?

Die Funktion lautet eigentlich:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)*e\frac{x}{k} \end{eqnarray*}$

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15.03.2014, 18:19

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$

Also so?

Dann ist deine Ableitung

$\begin{eqnarray*} f '(x)=-e^{\frac{x}{k}}\left(\frac{x}{k}\right) \end{eqnarray*}$

richtig.

Wenn du mehr Zeichen in den Exponenten schreiben möchtest, dann musst du geschweifte Klammern setzen ^{....}

15.03.2014, 18:26

namelessjules

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Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} f(x)=(k-x)e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$

Also so?

Dann ist deine Ableitung

$\begin{eqnarray*} f '(x)=-e^{\frac{x}{k}}\left(\frac{x}{k}\right) \end{eqnarray*}$

richtig.

Wenn du mehr Zeichen in den Exponenten schreiben möchtest, dann musst du geschweifte Klammern setzen ^{....}

Soweit richtig, abgesehen davon dass es in der Klammer bei der Ableitung statt positiv negativ ist und vor der Klammer dann halt positiv und nicht negativ.

15.03.2014, 18:33

Gast11022013

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Wo das Minuszeichen steht spielt keine Rolle. Ich finde es schöner wenn es ganz vorne ist.

Da wir ja nun geklärt haben wie die Funktion aussieht können wir uns ja deinen Fragen widmen:

Zitat:

1) Ich bringe es jedoch immer durcheinander, wann ich was berechne, also was ich den Schnittpunkt mit der y-Achse habe und wann den mit der x-Achse.

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen berechnest du f(0)=y
Du setzt also in der Funktion einfach Null ein. Das ist in der Regel das einfachste an einer Kurvendiskussion. Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann man oft direkt ablesen.

Den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnest du indem du f(x)=0 setzt.

Ist die Frage damit beantwortet?

Zu 2)

Wie sehen denn deine zweite und dritte Ableitung aus?
Wenn nötig mit Rechenweg.

zu 4)

Welcher Punkt ist denn (k|0) auf unserem Graphen.

Edit: Übrigens bitte die Vollzitate unterlassen. Sie machen den Thread recht unübersichtlich.

15.03.2014, 18:43

namelessjules

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Zitat:

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen berechnest du f(0)=y
Du setzt also in der Funktion einfach Null ein. Das ist in der Regel das einfachste an einer Kurvendiskussion. Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann man oft direkt ablesen.

Den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnest du indem du f(x)=0 setzt.

Ist die Frage damit beantwortet?

Ja, das habe ich verstanden. Vielen Dank. Freude

Freude

Zitat:

Zu 2)

Wie sehen denn deine zweite und dritte Ableitung aus?
Wenn nötig mit Rechenweg.

Da liegt gerade mein Problem. Ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss. Ich würde ja sagen, dass man Ketten- und Produktregel wieder anwenden muss, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das kombinieren muss.

Zitat:

zu 4)

Welcher Punkt ist denn (k|0) auf unserem Graphen.

Auf meinem Aufgabenzettel steht, dass es ein beliebiger Punkt ist. Man soll halt überprüfen ob alle Graphen Gk durch diesen Punkt verlaufen.

Was ist mit allen Graphen denn gemeint? Der Graph der Anfangsfunktion und die der Ableitungen?

15.03.2014, 18:51

Gast11022013

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Wir brauchen die Produktregel um die Ableitungen zu bestimmen.
Wie sieht denn u(x) und v(x) dann aus, also die jeweiligen Faktoren aus denen sich die Funktion zusammensetzt.
Bestimme dann u '(x) und v '(x).

zu 4)

Na ja, das es ein beliebiger Punkt ist würde ich nicht unbedingt sagen.
Diese Form von Punkten haben einen speziellen Namen. Welche Punkte haben so eine Form?

Wir haben hier ja eine Funktionsschar vorliegen. Je nachdem wie wir den Parameter k wählen verändert sich die spätere Funktion.
Du solltest nun diesen Punkt mit speziellen Namen in Abhängigkeit für k berechnen.
Dazu musst du natürlich wissen was für ein Punkt so eine Form (k|0) hat.

15.03.2014, 19:01

namelessjules

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Ich würde das jetzt so machen:
$\begin{eqnarray*} u(x)=-\frac{x}{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=x*k^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

zu 4)

Na ja, das es ein beliebiger Punkt ist würde ich nicht unbedingt sagen.
Diese Form von Punkten haben einen speziellen Namen. Welche Punkte haben so eine Form?

Wir haben hier ja eine Funktionsschar vorliegen. Je nachdem wie wir den Parameter k wählen verändert sich die spätere Funktion.
Du solltest nun diesen Punkt mit speziellen Namen in Abhängigkeit für k berechnen.
Dazu musst du natürlich wissen was für ein Punkt so eine Form (k|0) hat.

[/QUOTE]

Das verstehe ich nicht genau. Kann ich für k eine beliebige Zahl einsetzen, um das ausrechnen zu können?

15.03.2014, 19:05

Gast11022013

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Um 4) kümmern wir uns später, würde ich vorschlagen.

Erstmal zu den Ableitungen.

Bedenke, dass k einfach nur eine konstante Zahl ist.

Im Grunde steht da nichts weiteres als zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} u(x)=-\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Nur eben mit k anstatt 2 und somit etwas allgemeiner.
Aber die Ableitung von obigen kannst du ganz sicher leicht bestimmen und deinen Fehler erkennen.

Wie lautet also u ' wirklich?
Auch v ' ist nicht korrekt. Überdenke das noch einmal.

15.03.2014, 19:13

namelessjules

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Ich habe gerade mein Regelheft aufgeschlagen. Darin steht:
Negative Exponenten
$\begin{eqnarray*} a^{-x}=\frac{1}{a^x} \end{eqnarray*}$

Wird mir das dabei helfen um auf u' zu kommen?

15.03.2014, 19:15

Gast11022013

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Eigentlich nicht. Du verwechselst gerade konstante mit Variable. Die Ableitung geht genau so wie in dem von mir genannten Beispiel.

15.03.2014, 19:22

namelessjules

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Vielleicht
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ?

aber dann habe ich das k ja nicht beachtet

15.03.2014, 19:24

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} u '(x)=\frac1k \end{eqnarray*}$

ist korrekt.
Was meinst du damit k zu beachten? Das hast du ja eigentlich getan.
k ist nur eine Konstante. Die werden beim ableiten normalerweise einfach mitgeschleppt.

15.03.2014, 19:31

namelessjules

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Zitat:

Was meinst du damit k zu beachten? Das hast du ja eigentlich getan.
k ist nur eine Konstante. Die werden beim ableiten normalerweise einfach mitgeschleppt.

[/QUOTE]

gut, dann habe ich das auch verstanden.

Muss ich, um auf v' zu kommen die innere Ableitung noch machen? Also wäre ja dann genau wie u' und dann noch die äußere Ableitung, also:
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{k}}*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

15.03.2014, 19:35

Gast11022013

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Jetzt stimmt auch v '

Nun musst du dir die zweite Ableitung nur noch zusammen puzzeln.

15.03.2014, 19:45

namelessjules

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Wenn ich das nach der Formel $\begin{eqnarray*} u'(v(x))*v'(x) \end{eqnarray*}$ mache, dann käme ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}(e^{\frac{x}{k}})*\frac{1}{k}*e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$
raus.
Richtig?

15.03.2014, 19:49

Gast11022013

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Die Produktregel lautet doch:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=u'\cdot v+u\cdot v' \end{eqnarray*}$

Deine Ableitung sollte inkorrekt sein.

15.03.2014, 19:59

namelessjules

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Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}*e^{\frac{x}{k}}+(-\frac{x}{k})*\frac{1}{k}*e^{\frac{x}{k}} \end{eqnarray*}$ ?

15.03.2014, 20:07

Gast11022013

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Du solltest ein negatives Vorzeichen vergessen haben. Sonst passt es.

16.03.2014, 13:37

namelessjules

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Muss ich das noch irgendwie zusammenfassen oder kann ich mit dieser Ableitung weiter rechnen?

16.03.2014, 15:20

namelessjules

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Kann mir hier jemand vielleicht noch einmal eben kurz helfen?

16.03.2014, 17:56

Gast11022013

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Du solltest hier noch die e-Funktion ausklammern. Es kann also noch vereinfacht werden.

16.03.2014, 18:22

namelessjules

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{\frac{x}{k} }(\frac{1}{k}*\frac{1}{k} -\frac{x}{k} ) \end{eqnarray*}$

16.03.2014, 18:30

Gast11022013

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Du hast da die Rechenzeichen irgendwie vertauscht.

$\begin{eqnarray*} f ''(x)=e^{\frac{x}{k}}\left(\frac{1}{k}-\frac{x}{k}\cdot \frac{1}{k}\right) \end{eqnarray*}$

Lässt sich noch etwas zusammenfassen.

Du hättest das $\begin{eqnarray*} \frac1k \end{eqnarray*}$ auch direkt mit ausklammern können.

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