Beweis formal korrekt?

15.03.2014, 23:06

le_Foo

Beweis formal korrekt?

Hallo,

ich muss gerade folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n < \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ folgt.

Mein Ansatz wäre jetzt dass ich annehme dass das Gegenteil stimmt. Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ und dies zu einem Widerspruch führe.

Angenommen: $\begin{eqnarray*} a_n < b_n und \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \lim (a_n) + x = lim (b_n) \lim (a_n) => \exists \varepsilon < x : \exists N(\varepsilon) : |a_n - a| < \varepsilon \forall n > N(\varepsilon) => | a_n > b_n | = \infty \forall n > N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$

Nochmal in Worten:
Angenommen der Limes a_n ist größer als der Limes b_n, dann gibt es ein x das den Abstand zwischen beiden darstellt. Ab hier verwende ich die Definition der Epsilonumgebung: Aus dem Limes a_n folgt dass es ein Epsilon kleiner als x geben muss so dass ab einem Index N(Epsilon) alle weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilonumgebung sind. Daraus folgt dass es unendlich viele Folgenglieder a_n gibt die größer als b_n sind => Widerspruch.

Frage:
Meine Frage bezieht sich auf die Folgerungsschritte. Sind die nachvollziehbar oder habe ich etwas wichtiges vergessen? Die letzte Zeile ist mir auch noch etwas unklar. Die Betragsstriche verwende ich hier als "Anzahl der Elemente" um auszudrücken dass es unendlich viele Elemente größer b_n gibt. Ist die Notation so zulässig bzw wie könnte ich das besser darstellen?

lg,
Foo

15.03.2014, 23:49

10001000Nick1

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Zitat:

Original von le_Foo
Seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n < \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ folgt.

Soll $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelten? So wie sie dasteht, ist die Aussage falsch.

16.03.2014, 09:46

le_Foo

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Das sollte eigentlich ein kleinergleich Zeichen sein.

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$

16.03.2014, 10:49

micha_L

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Hallo,

mache dir die Sache vielleicht erst einmal einfacher.
Beweise: Gilt für die konvergente reelle Folge $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} c_n>0 \end{eqnarray*}$ , so gilt (auch) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}c_n\geqslant0 \end{eqnarray*}$ .

Kontraposition tut es da ganz gut.

Mfg Michael

16.03.2014, 12:14

le_Foo

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@micha_L: Ich versteh nicht ganz worauf du hinaus willst. Meinst du dass das eine Vorbedingung zu meinem Beweis sein soll?

Ich merke gerade dass sich beim übertragen vom Papier ins Forum ein Fehler eingeschlichen hat.

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ sein soll, dann muss natürlich meine erste Folgerung $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n + x \end{eqnarray*}$ lauten.

Mal ganz grundsätzlich: Ist meine Vorgehensweise überhaupt schlüssig oder bin ich mit meinem Ansatz völlig am Holzweg?

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