[Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig (erledigt)

16.03.2014, 13:44

matze(2)

[Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig (erledigt)

Hallo,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller Polynome auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathcal P \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \left( \mathcal{P}, \| \cdot \|\right) \end{eqnarray*}$ kein Banachraum.
(Tip: Bairescher Kategoriensatz!)

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathcal P \end{eqnarray*}$ als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen kann, habe ich den gewünschten Widerspruch.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} = \bigcup_{n =1}^{\infty} \left\{ \lambda t^n:\lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$

Aber wie zeige ich von den Mengen, dass sie nirgends dicht sind, ohne die Norm zu kennen? Oder bin ich auf dem falschen Weg?

Viele Grüße

Edit1: Ich denke, man kann den Raum der Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit dem Raum $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der abbrechenden Folgen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ identifizieren. Aber ich glaube eher nicht, dass das viel bringt.

16.03.2014, 14:42

Che Netzer

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RE: [Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig
Die allgemeinere Aussage lautet: Ein unendlichdimensionaler normierter Raum kann nicht gleichzeitig vollständig sein und eine abzählbare (Hamel-)Basis besitzen. Hätte ein Banach-Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nämlich die abzählbare Basis $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , so könnte man
$\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{n\in\mathbb N}\operatorname{span}\{x_1,\dotsc,x_n\} \end{eqnarray*}$
schreiben. Ich glaube, das wolltest du auch ausdrücken...

Zitat:

Aber wie zeige ich von den Mengen, dass sie nirgends dicht sind, ohne die Norm zu kennen?

Abgeschlossen sind die endlichdimensionalen Unterräume ja schon. Du möchtest also zeigen, dass sie alle leeres Inneres haben. Würden sie einen inneren Punkt enthalten, wäre aber auch Null ein innerer Punkt. Wieso ist das so und wieso ist das ein Widerspruch?

16.03.2014, 22:38

matze(2)

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RE: [Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig
Sind die $\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda t^n:\lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$ denn keine linearen Untervektorräume?

Das Abgeschlossenheitsargument ist trivial, aber ich kam nicht darauf Hammer

Allgemein enthält ein echter Unterraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eines unendlich-dimensionalen normierten Raums $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ keine offene Kugel aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} B_r(a) \subseteq V \end{eqnarray*}$ beliebig.

Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \setminus \left\{ a \right\} \end{eqnarray*}$ beliebig.

$\begin{eqnarray*} a+\frac{r}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|} \in B_r(a) \subseteq V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{r}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|} \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{r}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|} \frac{2\|x-a\|}{r} \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a + \frac{r}{2}\frac{x-a}{\|x-a\|} \frac{2\|x-a\|}{r} \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow V = X \end{eqnarray*}$

Edit1: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ braucht nicht unendlich-dimensional zu sein.

16.03.2014, 22:42

Che Netzer

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RE: [Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig

Zitat:

Original von matze(2)
Sind die $\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda t^n:\lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$ denn keine linearen Untervektorräume?

Schon, aber ihre Vereinigung ist nicht der gesamte Polynomraum, sondern nur die Menge aller Monome beliebigen Grades (mit beliebigen Vorfaktoren).

16.03.2014, 22:49

matze(2)

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RE: [Funktionalanalysis] Polynomraum nicht vollständig
Hammer

Jetzt habe ich, glaube ich, alles verstanden. Vielen Dank! Freude

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