Frage zu Beweis: Endl. U'gruppe von Grp der invertierbaren Elemente ist zyklisch

16.03.2014, 14:16

Duude

Frage zu Beweis: Endl. U'gruppe von Grp der invertierbaren Elemente ist zyklisch

Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit einem Beweis, bei dem ich den allerletzten Schritt nicht verstehe.

Satz: Sei K ein Körper. Sei G endliche Untergruppe von $\begin{eqnarray*} K^x \end{eqnarray*}$ . Dann ist G zyklisch.

Beweis: K ist Körper, also sind alle Elemente außer der 0 invertierbar, also $\begin{eqnarray*} K^x=K/ \{0\} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ein Element der maximalen Ordnung n. Dieses muss existieren, da jedes Element eine Ordnung hat und wir einfach das mit der größten Ordnung wählen. Jedes Element erzeugt eine zugehörige Untergruppe derselben Ordnung. Da nach Lagrange die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilt, muss für alle x aus G gelten, dass o(x)|n.

Also gilt für alle x auch $\begin{eqnarray*} x^n=1 \end{eqnarray*}$ . Also sind alle Elemente x aus G Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^n-1 \end{eqnarray*}$ . Wir wissen aber, dass es in einem Körper bei Gleichung vom Grad n höchstens n Nullstellen geben kann, also muss gelten, dass G höchstenes n Elemente hat.

Und hieraus soll folgen, dass G zyklisch ist, also G=<g>.
Und diesen allerletzten Schritt verstehe ich nicht..

Können wir das überhaupt so folgern? Und folgt das nicht schon daraus, dass wir oben annehmen, es gibt ein Element der maximalen Ordnung? Dadurch ist ja klar, dass (angenommen es gibt ein Element, das ganz G erzeugt) dieses das g mit maximaler Ordnung sein muss. Wie schließen wir hier aus, dass es nicht möglich ist, G nur mit einem Element zu erzeugen?

Freue mich über Anmerkungen/Hilfe.
lg Duude

16.03.2014, 14:30

tmo

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Der Beweis ist in der Tat unvollständig, da die Folgerung $\begin{eqnarray*} x^n-1=0 \end{eqnarray*}$ für alle x aus G schlichtweg falsch ist.

Denn es könnte ja $\begin{eqnarray*} |G| =12, n = 6 \end{eqnarray*}$ sein und dann könnte es ein Element der Ordnung 4 geben, das $\begin{eqnarray*} x^6-1=0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt....

Es gibt viele Beweise für diesen Satz, aber um bei der selben Idee zu bleiben:

1. Man bildet von allen Elementen in G den kgV ihrer Ordnungen. Dieser sei n.

2. Dann zeigt man noch: Es gibt ein Element der Ordnung n. Das ist das Entscheidende! Dass das n aus deinem falschen Beweis und das n hier aus diesem richtigen Beweis übereinstimmen, ist a priori überhaupt nicht klar. Mit diesem Schritt zeigt man dies jedoch und dann ist alles gut, denn

3. Dann gilt in der Tat $\begin{eqnarray*} x^n-1=0 \end{eqnarray*}$ für alle x aus G und dann geht der Rest so durch.

16.03.2014, 14:30

Che Netzer

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RE: Frage zu Beweis: Endl. U'gruppe von Grp der invertierbaren Elemente ist zyklisch

Zitat:

Original von Duude
Da nach Lagrange die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilt, muss für alle x aus G gelten, dass o(x)|n.

Das hätte man noch etwas näher erläutern sollen...

Zitat:

Und hieraus soll folgen, dass G zyklisch ist, also G=<g>.
Und diesen allerletzten Schritt verstehe ich nicht..

Ein Element $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(g)=\lvert G\rvert \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie schließen wir hier aus, dass es nicht möglich ist, G nur mit einem Element zu erzeugen?

Genau das Gegenteil wird doch gezeigt...

Zitat:

K ist Körper, also sind alle Elemente außer der 0 invertierbar, also $\begin{eqnarray*} K^x=K/ \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Hier sollte es natürlich $\begin{eqnarray*} K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ heißen.

16.03.2014, 20:41

Duude

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erstmal danke für die Antworten.

Zitat:

Da nach Lagrange die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilt, muss für alle x aus G gelten, dass o(x)|n.

Ah, wenn man den kgV der Ordnungen nimmt, macht dieser Schritt erst wirklich Sinn.. War mir davor gar nicht aufgefallen..

Zitat:

Ein Element $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(g)=\lvert G\rvert \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Ich denke mir ist damit jetzt der letzte Schritt klar. Mein Element g hat Ordnung |G|=n. Also muss ich g n-mal verknüpfen, um wieder die Eins zu erhalten. Alle Elemente, die ich zuvor erhalte sind verschieden: also
$\begin{eqnarray*} 1=g^0=g^n \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} g^1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} g^2 \end{eqnarray*}$ ,...,
$\begin{eqnarray*} g^{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Da g Ordnung n hat, muss auch die von G erzeugte Gruppe n Elemente haben. Da diese alle verschieden sind, und in G liegen müssen (da die von g erzeugte Untergruppe Untergruppe von G ist), muss diese Gruppe gerade gleich G sein.

Zitat:

Hier sollte es natürlich $\begin{eqnarray*} K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ heißen.

Ja, das war gemeint.. Hatte den entsprechenden Latex-Befehl nicht gefunden.. Augenzwinkern

Der entscheidende Schritt fehlt jetzt aber noch: und zwar ist noch zu zeigen: Es gibt ein Element der Ordnung n=kgV(aller Ordnungen von Elementen in G).

Wir hatten in der Vorlesung den folgenden Satz. Ich meine er zeigt genau das, was mir noch fehlt:

Sei G eine endliche abelsche Gruppe und n die maximal mögliche Ordnung eines Elementes in G. Dann gilt o (x)|n(also nicht nur $\begin{eqnarray*} o(x) \leq (n) \end{eqnarray*}$ ) für alle x aus G.

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