Grenzwert berechnen

16.03.2014, 18:04	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen Hallo, ich versuche folgende Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x+2} \end{eqnarray}$ Bei solchen Aufgaben stoße ich immer wieder auf das gleiche Problem. Dieses habe ich auch schon versucht hier zu beschreiben. Ich gehe wie folgt vor: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x+2}=\lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{2}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x} \end{eqnarray}$ . Generell gilt ja: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0}a_x\cdot b_x=\lim_{x \to x_0}a_x\cdot \lim_{x \to x_0}b_x \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} a_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_x \end{eqnarray}$ jeweils konvergent sind. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} a_x=\lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{2}=1 \Rightarrow \text{konvergent} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} b_x=\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x}=\frac{1}{e^4} \Rightarrow \text{konvergent} \end{eqnarray}$ Also kann ich jetzt schreiben: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{2}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x}=\lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{2}\cdot \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x-1}{x+3} \right )^{x}=1\cdot \frac{1}{e^4}=\frac{1}{e^4} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis stimmt, wie jedes Mal, wenn ich das so rechne. Allerdings scheint die Methode, die Limites einzeln zu betrachten, mathematisch falsch zu sein. Ich verstehe aber nicht warum. Wenn ihr mir da helfen könntet, wäre ich euch sehr dankbar. Viele Grüße Xbf
16.03.2014, 19:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich sehe hier jetzt eigentlich kein Problem. Du kannst noch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} a_x \end{eqnarray}$ in zwei (konvergente) Reihen aufteilen, damit das Quadrat weg ist. Oder ausmultiplizieren. Ansonsten nutzt du nur die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{x}{n} \right)^n=e^{-x} \end{eqnarray}$ ist. Grüße.

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