Zusammenhang algebraische und geometrische Vielfachheit

16.03.2014, 18:18

alex2007

Zusammenhang algebraische und geometrische Vielfachheit

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} X:=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{(1)},\,e^{(2)},\,e^{(3)} \end{eqnarray*}$ die Einheitsvektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Für den Linearen Operator $\begin{eqnarray*} A:\, X\rightarrow X \end{eqnarray*}$ sei bekannt:
(i) $\begin{eqnarray*} e^{(1)},\,e^{(1)}+e^{(2)},\,2e^{(2)} \end{eqnarray*}$ sind Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-5 \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} e^{(1)}+e^{(3)} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_2=5 \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie die Basen für die Eigenräume von A an

b) Welche algebraische Vielfachheit haben die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:

Also prinzipiell meine ich die Definitionen von Eigenraum, Eigenvektor, Eigenwert, algebraischer VFH und geometrischer Vielfacheit verstanden zu haben.
Die geometrische Vielfachheit gibt die Dimension des Eigenraumes zum entsprechenden Eigenwert an, also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu genau diesem Eigenwert. Die allgebraische Vielfachheit wiederum gibt die Vielfachheit der Nullstelle des charakteristischen Polynoms an, also wie oft der Eigenwert vorkommt.
Außerdem weiß ich, dass die geometrische Vielfachheit höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit sein kann und dabei mindestens 1 betragen muss.

Allerdings habe ich Probleme das ganze auf genau diese Aufgabe anzuwenden.

a)

Die Aufgabe an sich ist klar. Ich habe meine Eigenvektoren gegeben und die Spannen den jeweiligen Eigenraum auf.
Also komme ich für -5 auf:

$\begin{eqnarray*} E_A(\lambda_1)=\left\{a\cdot e^{(1)},\,b\cdot\left(e^{(1)}+e^{(2)}\right),\,c \cdot e^{(2)}|a,\,b,\,c\,\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Für Eigenwert 5 entsprechend:

$\begin{eqnarray*} E_A(\lambda_2)=\left\{k\cdot\left(e^{(1)}+e^{(3)}\right)|k\,\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Ist das erstmal so richtig?

b)

Entsprechend meiner Eigenräume haben die Eigenwerte die geometrische Vielfachheit 3 (für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-5 \end{eqnarray*}$ ) und 1 (für $\begin{eqnarray*} \lambda_2=5 \end{eqnarray*}$ ).
Wie komme ich jetzt auf die algebraische Vielfachheit? Diese muss ja jeweils mindestens so groß wie die geometr. Vielfachheit sein, kann aber auch größer sein. Das heißt ja, es muss mindestens 4 Eigenwerte geben, wovon 3 gleich sein müssen. Allerdings wunder mich aber dann die Abbildungsvorschrift vom R^3 ins R^3. Irgendwo hab ich hier glaube ich einen Denkfehler.

Wäre schön, wenn mir hier jemand den richtigen Hinweis geben könnte um das richtige Rädchen in meinem Kopf in Gang zu bekommen. smile

16.03.2014, 18:38

Helferlein

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a) ist falsch
Versuch Dir mal klar zu machen, was es bedeuten würde, wenn der Eigenraum dreimdimensional wäre.

b) ist auch falsch, allerdings nur weil Du a) bereits falsch hast.

16.03.2014, 19:33

alex2007

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Also ich hab das jetzt mal total unkonventionell berechnet um zu prüfen, was ich da berechnet habe, in dem ich aus den gegebenen Sachen quasi rückwirkend meine Matrix ausrechne. Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -5 & 0 & 10 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 &0 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit auf das Charakteristische Polynom:

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = (-5-\lambda)^2\cdot(5-\lambda) \end{eqnarray*}$

Damit kann ich die algebraische Vielfacheit direkt ablesen. Also VFH 2 für Eigenwert -5 und VFH 1 für Eigenwert 5.

Die Eigenräume sind also:

$\begin{eqnarray*} E_A(\lambda_1) =\left\{ \left(a\cdot e^{(1)}+ b\cdot e^{(2)}\right)| a,\,b\,\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_A(\lambda_2) =\left\{ k\cdot\left( e^{(1)}+\cdot e^{(3)}\right)| k\,\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Also sind beide Eigenräume Eindimensional und die geometrische VFH ist 1. Die Matrix ist also nicht diagonalisierbar.

So, allerdings ist es denke ich umständlich erst die Matrix A zu bestimmen. Das Problem was ich hatte, war dass ich den Zusammenhang zwischen den gegebenen EVn nicht gesehen hatte. Für mich waren die EVn zum EW -5 alle linear unabhängig und deswegen musste die geometr. VFH also 3 sein. Allerdings funktioniert das schonmal nicht, wenn eine 3x3 Matrix vorliegt und wir zwei EWn haben. Demzufolge kann die geometr. VFH schonmal höchstens 2 sein. Um deine Frage zu beantworten.

Mir ist jetzt durch diesen komplizierten Weg klar geworden, dass ich quasi hätte überlegen müssen, wie die gegebenen Eigenvektoren zusammenhängen. Dann wäre mann zu dem Schluss gekommen, dass bei allen einfach die z-Komponente gleich 0 ist und x und y beliebig sind, was zum Vektor (a,b,0) führt.
Ist das auch der Weg, den man hier geht um möglichst schnell festzustellen, dass der Eigenraum eindimensional ist?

Die algebraische VFH ergibt sich einfach daraus, dass offensichtlich 3 Eigenwerte existieren müssen, aber nur 2 verschiedene Werte existieren. Entsprechend muss einer der Werte eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms sein. Allerdings frage ich mich gerade, woran ich merke welcher Wert das ist?

Mein Problem besteht hier wie gesagt nicht aus den grundsätzlichen Defintionen, sondern in der herangehensweise an diese spezielle Aufgabe. Ist es vielleicht doch der einzig richtige Weg, die Matrix zu bestimmen? Das erscheint mir allerdings als zu umständlich.

Mir würde es glaub ich helfen, wenn man jemand seine direkte Herangehensweise an die Aufgabe erläutern würde um das ganze im Zusammenhang endgültig zu verstehen. Ich glaube mir fehlen die Verknüpfungen zwischen den ganzen Eigenschaften.

16.03.2014, 20:30

Helferlein

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Zitat:

Original von alex2007
Also sind beide Eigenräume Eindimensional und die geometrische VFH ist 1. Die Matrix ist also nicht diagonalisierbar.

Das ist leider wieder falsch. Wenn Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren hast, kann die Vielfachheit nicht eins sein.

Nur um sicher zu gehen, noch einmal die Definitionen:
Unter der geometrischen Vielfachheit eines Eigenraums versteht man die Dimension dieses Raums.
Die algebraische Vielfachheit ist die Potenz der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Bei dieser Aufgabe geht es zunächst also nur darum, sich einen Überblick zu verschaffen, welche Dimension die beiden Eigenräume haben. Zusammen mit der Dimension des Vektorraums ergeben sich dann daraus die algebraische Vielfachheiten.

16.03.2014, 22:03

alex2007

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Das weiß ich doch prinzipiell alles. Aber jetzt sind wir endlich bei meinem Verständnisproblem, wo ich nicht wusste, wie ich es ausdrücken sollte. Warum ist der vektor (a*e1 + b*e2) nicht ein vektor sondern 2 linear unabhängige vektoren aber k*(e1+e3) ist nur ein vektor? Ich versteht nicht, weshalb ae1 und be2 die eigenvektoren von lambda1 sein sollen, aber lambda2 hat nicht die beiden eigenvektoren ke1 und ke3? Auf gut deutsch: bei dem einen ist ein Summenvektor nicht die Lösung, sondern die beiden Summanden einzelnen und bei dem anderen isses nicht so, obwohl die Summanden jeweil linearunabhängig sind. Das ist quasi der ganze Kern meines Problems.
Vielleicht steh ich jier auch nur total auf dem Schlauch.

16.03.2014, 22:24

Helferlein

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$\begin{eqnarray*} v=ae_1+be_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, nämlich der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Der Eigenraum besteht aber aus allen Vektoren, die sich in dieser Form darstellen lassen, so dass a und b beliebige Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ annehmen können. Wir landen also bei einem zweidimensionalen Raum.
Im zweiten Eigenraum gibt es nur einen Vektor im Erzeugendensystem, nämlich $\begin{eqnarray*} e_1+e_3 \end{eqnarray*}$ . Diesen multiplizierst Du mit einer Variable, also ist der Eigenraum eindimensional.

Ich würde mir bei der Aufgabe ehrlich gesagt auch gar keine Gedanken über die Struktur machen. Es genügt die einfache Erkenntnis, dass die drei Vektoren des ersten Eigenraums linear abhängig sind, je zwei aber unabhängig sind und somit eine Basis bilden. Der Eigenraum muss also zweidimensional sein.

Vielleicht hilft es Dir das ganze etwas weniger abstrakt zu sehen.
Im ersten Fall hast Du es mit den drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu tun. Dir ist hoffentlich klar, dass sich der zweite natürlich durch die anderen beiden darstellen lässt und somit "überflüssig" ist. Die anderen beiden sind keine Vielfache voneinander, also linear unabhängig.
Im zweiten Fall ist der Vektor, um den es geht, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Falls Du es noch einfacher ausgedrückt haben möchtest, schau Dir einmal die Rechnung 2+3 an. Beschreibt sie eine Zahl (nämlich 5) oder zwei Zahlen (nämlich 2 und 3)?

17.03.2014, 08:47

alex2007

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Ok, jetzt hab ich es verstanden. Mein Problem lag einfach darin, das bei dem erstenn Eigenwert 2 linear unabhänguge vektoren gegeben waren und einer der sich aus beiden anderen schreiben lässt. Bei dem anderen war nur ein solcher Summenvektor gegeben und ich hab nicht kapiert, warum dann die Bestandteile diese Vektors nicht auch Eigenvektoren sind.
Aber ich hab es jetzt verstanden, sind ae1 und be2 EVn, dann ist auch jeder Vektor ae1+be2 ein Eigenvektor. Ist der Vektor e1+e3 ein EV, bedeutet das aber nicht, das e1 und e3 selbat auch EVn sind. Das war mir nicht klar, aber jetzt hab ich es verstanden.

Damit ist die Matrix diagonalisierbar, das algebr. VFH gleich der geometr. VFH, richtig?

Danke dir, dass du etwas Ordnung in meinem Kopf machen konntest.

17.03.2014, 17:35

Helferlein

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Ja, das ist richtig.

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