DGL Trennung der Variablen

16.03.2014, 20:55

Gastkonto

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DGL Trennung der Variablen

Hi,
kann man das so lösen ?

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} a) y'=(y+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) y'*(1+x^3)=3x^2*y \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} a) y'=(y+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=y^2+4y+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y^2+4y+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y^2+4y+4 dx}=1 \end{eqnarray*}$ (darf man das mit dem dx so schreiben oder muss man das ausklammern ?)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^2+4y+4 }dy=1 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(y+2)^2 }dy=1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{(y+2)^2 }\, dy=\int\! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{(y+2)^2 }\, dy=x +C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=y+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dy} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy=dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{z^2 }\, dz=x+C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z^{-1}}{-1}+C_1=x+C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{{1}}{z}+C_1=x +C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{{1}}{y+2}+C_1=x+C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{{1}}{y+2}=x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{x+C}-2 \end{eqnarray*}$

Ist man dann fertig oder muss man noch was machen ?

16.03.2014, 21:15

grosserloewe

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RE: DGL Trennung der Variablen
Wink

Wink

darf man das mit dem dx so schreiben oder muss man das ausklammern ?)

da muß eine Klammer drum sein

PS: (y+2)^2 hättest Du nicht ausmultiplizieren brauchen.

Das C brauchst Du nur standardmäßig meistens auf der echten Seite schreiben und dann links einfach weglassen . Das schreibt keiner mehr hin , dieses 1. C auf der linken Seite.

Ansonsten ist das Ergebnis richtig und Du bist fertig.

16.03.2014, 21:28

Gastkonto

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Danke fürs kontrollieren smile

smile

Wie ich sehe hast du die b erst vor kurzem mit jemanden gelöst Big Laugh

Big Laugh

Habe dort jedenfalls das selbe heraus

$\begin{eqnarray*} |y|=|x^3+1|+C \end{eqnarray*}$

Es wäre jedenfalls sehr logisch wenn sich die Beträge gegenseitig auflösen würden^^
$\begin{eqnarray*} y=x^3+1+C \end{eqnarray*}$

16.03.2014, 21:56

Firestorm

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Wink

ich habe die Frage zur Aufgabe B gestellt, ich glaube wir rechnen die selben Übungsblätter smile

smile

16.03.2014, 22:24

Gastkonto

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@Firestorm
Das glaube ich auch smile

smile

16.03.2014, 22:27

grosserloewe

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Wink

Das Ergebnis lautet aber:

$\begin{eqnarray*} y= C*(x^{3} +1) \end{eqnarray*}$

Du hast doch mit dem C einen Parameter drinnen, der positiv oder negativ sein kann.
Daher brauchst Du nicht nochmal die Unterscheidung durch den Betrag, das rutscht sozusagen mit ins C.

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16.03.2014, 22:42

Gastkonto

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Zitat:

Original von Firestorm
smile

smile

Habe jetzt mit deiner Hilfe weitergerechnet, stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} y\prime *(1+{ x }^{ 3 })=3{ x }^{ 2 }y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac { dy }{ dx } =\frac { 3{ x }^{ 2 }y }{ 1+{ x }^{ 3 } } \quad \quad |*\frac { 1 }{ y } ,\quad |*dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int { \frac { 1 }{ y } dy=\int { \frac { 3{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 3 } } dx } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log|y|=log|{ x }^{ 3 }+1|+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=c*({ x }^{ 3 }+1) \end{eqnarray*}$

Darf man in der vorletzten Zeile einfach aus dem + ein * machen ?

16.03.2014, 22:54

grosserloewe

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Wink

Ja

auf der rechten Seite steht :

= $\begin{eqnarray*} e^{(ln(x^3 +1) +C)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x^3+1) *e^{C} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} C (x^3+1) \end{eqnarray*}$

16.03.2014, 23:01

Gastkonto

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Habs verstanden Danke smile

smile

16.03.2014, 23:29

Gastkonto

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Hm irgendwie hab ichs doch nicht verstanden unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} log|y|=log|{ x }^{ 3 }+1|+e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}+e^c \end{eqnarray*}$

Dann kann man die doch gar nicht zusammenfassen.

Zu:
$\begin{eqnarray*} |y|=e^{(ln(x^3 +1) +C)} \end{eqnarray*}$

Geht doch nur bei $\begin{eqnarray*} a^n*a^m=a^{n+m} \end{eqnarray*}$

Oder ? verwirrt

verwirrt

17.03.2014, 08:40

grosserloewe

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Wink

Ja genau, das ist das Gesetz, wonach es funktioniert.

17.03.2014, 13:57

Gastkonto

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$\begin{eqnarray*} a^n*a^m\neq a^n+a^m \end{eqnarray*}$
Wird aber trotzdem gemacht.
Das ist mein Verständnisproblem.

17.03.2014, 14:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
$\begin{eqnarray*} log|y|=log|{ x }^{ 3 }+1|+e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}+e^c \end{eqnarray*}$

Der Fehler ist ja auch hier. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} log|y| = log|{ x }^{ 3 }+1| + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |y| = e^{ln|x^3+1| + c} = e^{ln|x^3+1|} \cdot e^c \end{eqnarray*}$
smile

smile

17.03.2014, 14:58

Gastkonto

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Ok ich versuche jetzt noch ein letztes mal mein Problem zu schildern:

$\begin{eqnarray*} ln|y|=ln|x^3+1|+C \end{eqnarray*}$ (jetzt möchte ich den ln weg haben --> e^(...))

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}\textcolor{red}{+}e^C \end{eqnarray*}$

Bis hier ist auch alles noch gut aber dann ...
Jetzt wird aus mysteriösen Gründen aus dem + ein *

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}\textcolor{red}{*}e^c \end{eqnarray*}$

Gibt es da irgendwelche Regeln zu Integrationskonstanten die ich nicht kenne aber wüssten müsste ?

Hier wärs ja nicht so:

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}\textcolor{red}{+}e^5\neq e^{ln|x^3+1|}\textcolor{red}{*}e^5\ \end{eqnarray*}$

17.03.2014, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|}\textcolor{red}{+}e^C \end{eqnarray*}$

Bis hier ist auch alles noch gut aber dann ...

Bis hierhin ist gar nichts gut. Ich hatte auch schon geschrieben, wie es heißen muß. Also nochmal. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} |y| = e^{ln|x^3+1| \textcolor{red}{+} C} \end{eqnarray*}$

17.03.2014, 15:12

Gastkonto

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Habe ich falsch den logarithmus aufgelöst ?

$\begin{eqnarray*} ln|y|=ln|x^3+1|+C \end{eqnarray*}$ (jetzt möchte ich den ln weg haben --> e^(...))

Das C muss ja von hier irgendwie in den exp. kommen!

17.03.2014, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
Das C muss ja von hier irgendwie in den exp. kommen!

Genau. Und mit e^(...) mußt du die e-Funktion auf die gesamte rechte Seite anwenden. smile

smile

17.03.2014, 15:49

Gastkonto

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Nur um sicher zu gehen
$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln(|x^3+1|+C)} \end{eqnarray*}$

und da C eh alles sein kann darf man wohl die Klammer weglassen oder ?

$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln|x^3+1|+C} \end{eqnarray*}$

17.03.2014, 15:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gastkonto
Nur um sicher zu gehen
$\begin{eqnarray*} |y|=e^{ln(|x^3+1|+C)} \end{eqnarray*}$

Nein, der ln bezieht sich nur auf den Betragsausdruck, also: $\begin{eqnarray*} |y| = e^{ln(|x^3+1|) + C} \end{eqnarray*}$

Schließlich hat vorher auch nur $\begin{eqnarray*} ln(|y|) = ln(|x^3+1|) + C \end{eqnarray*}$ gestanden.

17.03.2014, 16:21

Gastkonto

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Danke

smile

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