Anfangswertprobleme DGL

16.03.2014, 21:45	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertprobleme DGL Hi, habe leider keine Idee wie man diese Aufgabe durch Trennung der Variablen löst. Hätte das einfach mit lösen der charakteristischen Gleichung eingeleitet. Aufgabe: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} y'=e^{x-y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ Idee: $\begin{eqnarray} y'=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y dy=e^x dx \end{eqnarray}$ Wie muss man weiter machen ? Stimmt das überhaupt bis hier ?
16.03.2014, 21:51	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme DGL Ja das stimmt bis jetzt . Einfach auf beiden Seiten Integrieren . Dann beim Ergebnis die Anfangswerte einsetzen.
16.03.2014, 22:21	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenergebnis: $\begin{eqnarray} y=x+C \end{eqnarray}$ Wert einsetzen: $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=1+C \end{eqnarray}$ So ?
16.03.2014, 22:25	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider falsch Was ist $\begin{eqnarray} \int e^{y} \, dy \end{eqnarray}$
16.03.2014, 22:28	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^y+C_1 \end{eqnarray}$
16.03.2014, 22:29	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Yes Wie lautet nun das Ergebnis?
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16.03.2014, 22:33	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde meinen Fehler nicht. Hier mal die ganze Rechnung: $\begin{eqnarray} e^y+C_1=e^x+C_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln\|e^y\|+ln\|C_1\|=ln\|e^x\|+ln\|C_2\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y+C_1=x+C_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=x+C_2-C_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=x+C \end{eqnarray}$
16.03.2014, 22:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so nicht. Du machst hier regelrecht eine Konstantenschwemme auf . Außerdem ist in der 3. Zeile noch ein Fehler. Es reicht , wenn Du auf einer Seite (meistens rechts) die Konstante schreibst. Nach dem Integrieren folgt: $\begin{eqnarray} e^{y} = e^{x} +C \end{eqnarray}$ also das Ergebnis: $\begin{eqnarray} y= ln( e^{x} +C) \end{eqnarray}$ Vergiss Dein Anfangswert nicht.
16.03.2014, 22:55	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe das war der Fehler: $\begin{eqnarray} y+C_1=ln\|e^x\|+C_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=ln\|e^x\|+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=ln\|e^1\|+C \end{eqnarray}$
17.03.2014, 01:45	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y= ln( e^{x} +C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln( e^{0} +C)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln( 1+C)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+C=e^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=e-1 \end{eqnarray}$
17.03.2014, 03:15	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y= ln( e^{x} +C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= ln( e^{x} +e-1) \end{eqnarray}$
17.03.2014, 08:36	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmt das Ergebnis.
17.03.2014, 13:54	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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