Riemann-Integrierbarkeit

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Raphael92 Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Funktion gegeben:

f(x)= {-2, falls x element von {1/n | n element von N} ; pi, falls x element aus Q\{1/n |n element von N) ; 3, falls x element R\Q;

Es soll nun überprüft werden ob das Supremum aller Untersummen gleich oder kleiner dem Infinum aller Obersummen ist.

Meine Ideen:
Ich weiss, dass die Obergrenze hier Pi sein sollte, da zwischen zwei rellen Zahlen\Q eine rationale Zahl gibt. Wie sieht es jedoch mit der Untersumme aus? Zwischen 1/2 und 1 ist es ja sicher 3. Jedoch umso mehr man gegen den Nullpunkt gibt es mehr Stellen wo die Funktion den Wert -2 annimmt. Reicht es hier zu sagen, dass es die Untersumme höchstens 3 ist?

Hoffe jemand weiss was dazu Big Laugh .
Till1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Raphael, ich gehe mal davon aus, dass du als zugehöriges Intervall benutzen musst.

Was du auf jeden Fall sehen solltest ist, dass für jedes Intervall das du um legst eine weitere Zahl aus und eine aus liegt.

Damit kannst du dann eine belastbare Aussage über das Supremum aller Untersummen und dem Infimum aller Obersummen treffen.
Raphael92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Ja das mit dem Intervall [0,1] stimmt Augenzwinkern

Ja das hatte ich mir auch gedacht. dann müsste das Supremum der Untersummen ja 3 sein? und das Infimum der Obersummen Pi? Kann mir dass nur etwas schwer vorstellen da gegen den Nullpunkt ja unendlich viele Zahlen von 1/n geben muss, liegt vl auch einfach daran dass ich Elektrotechnik studier und nicht Mathematik Augenzwinkern .
Raphael92 Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte noch was hinzufügen: Ok man weiss dass zwischen 2 1/n Stellen eine Zahl aus Q als auch aus R\Q liegt. Bei einer solchen Unterteilung wäre bei meinem Beispiel Obersumme Pi und Untersumme -2. Ich dachte aber dass man wenn man das Intervall immer mehr verkleinert bei den meisten Stellen zwischen 2 Zahlen von R nur eine Zahl von Q liegt jedoch keine von 1/n oder? Dann wäre dort die Untersumme statt -2, 3.
Meine Frage ist daher ob man das 1/n wie eine endliche Anzahl an Unstetigkeiten betrachten kann die bei Verkleinerung des Intervalls wegfällt und so die Lösung
Supremum aller Untersummen= 3; Infimum aller Obersummen=Pi sagen kann. Oder kann man bei dem Beispiel nur sagen dass das Supremum aller Untersummen zwischen -2 und 3 liegt?

Mfg Raphael92
Till1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Supremum der Untersummen ist gewiss 3.

1/n kannst du nicht als endlich Anzahl betrachten. smile die natürlichen Zahlen sind doch abzählbar unendlich smile

Deine letzte Einschätzung, dass das Supremum aller Untersummen zwischen -2 und 3 liegt ist nicht ganz korrekt.

Was stimmt ist, dass alle Untersummen zwischen -2 und 3 liegen. Also ist das Supremum aller Untersummen 3. Schau dir mal die Definition an zum Supremum.
Raphael92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Till1990
Das Supremum der Untersummen ist gewiss 3.

1/n kannst du nicht als endlich Anzahl betrachten. smile die natürlichen Zahlen sind doch abzählbar unendlich smile

Deine letzte Einschätzung, dass das Supremum aller Untersummen zwischen -2 und 3 liegt ist nicht ganz korrekt.

Was stimmt ist, dass alle Untersummen zwischen -2 und 3 liegen. Also ist das Supremum aller Untersummen 3. Schau dir mal die Definition an zum Supremum.


Danke für die Antwort!

Als Definition der Supremums der Untersummen habi ich den limes n->unendlich von U(f,Zn) also bei unendlich vielen Zerlegungen wie ich es verstanden habe.
Wie gesagt hatten wir gesagt dass die Änderung einer integrierbaren Funtkion an endlich vielen Stellen nichts am Integral ändert. Aber da eben 1/n unendlich viele Zahlen im Intervall [0,1] beinhaltet war ich verunsichert ob das Supremum der Untersummen im Bereich gegen 0 auch 3 ist. Weil wenn man ja das Intervall 1/n bis 1/n+1 anschaut ist darin das Supremum der Untersummen -2 auch wenn dazwischen ein R gibt. Kann man dann einfach argumentieren, dass es bei unendlich vielen Zerlegungen zwischen 2 R kein 1/n gibt sodass das Supremum 3 ist? Ich hoffe du weisst was ich damit sagen will Big Laugh

Falls meine Ansicht davon kompeltt falsch ist sag es mir bitte geschockt
 
 
Till1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, in diesem Fall wird das Supremum über ALLE Untersummen gesucht. Das heißt über jeden denkbare Zerlegung und die kannst du ja auch so wählen, dass du eine Untersumme bekommst die gegen 3 Konvergiert. Du wirst aber, keine Untersumme bekommen die größer als 3 ist (wegen der Dichte). Also ist 3 dein Supremum über alle Untersummen.
Raphael92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Till1990
Hi, in diesem Fall wird das Supremum über ALLE Untersummen gesucht. Das heißt über jeden denkbare Zerlegung und die kannst du ja auch so wählen, dass du eine Untersumme bekommst die gegen 3 Konvergiert. Du wirst aber, keine Untersumme bekommen die größer als 3 ist (wegen der Dichte). Also ist 3 dein Supremum über alle Untersummen.


Aja jetzt versteh ich. Danke nochmal hast mir sehr geholfen Wink !
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