Quotientenvektorraum und kanonische Abbildung

16.03.2014, 23:25

kgV

Quotientenvektorraum und kanonische Abbildung

Hallo,
Beim Thema Quotientenvektorräume bin ich mir noch etwas unsicher, deswegen wäre ich froh, wenn jemand meine Lösung bestätigen (oder Fehler aufzeigen könnte) smile

Teil 1:
Gesucht ist eine Beschreibung (bis auf Isomorphie) des Quotientenvektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:
(1) Wegen der Isomorphie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3/U \end{eqnarray*}$ zu jedem direkten Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ reduziert sich mein Problem auf die Beschreibung desselben
(2)Ich erweitere eine Basis von U zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&0&0\\2&0&1&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Damit habe ich eine Basis des direkten Komplements, nämlich $\begin{eqnarray*} \underline v=\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Teil 2:
Gesucht ist die Abbildungsmatrix der kanonischen Abbildung: $\begin{eqnarray*} \operatorname{can}:\mathbb R^3\to \mathbb R^3/U,x\mapsto [x] (=x+U) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Standardbasis und einer Basis von $\begin{eqnarray*} R^3/U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} M(\operatorname{can},\underline e,\underline v) \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:
Ich habe die bereits oben gefundene Basis $\begin{eqnarray*} \underline v \end{eqnarray*}$ des (direkten) Komplements genommen, dann habe ich die Einheitsvektoren durch die Abbildung gejagt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als äquivalenten Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3/U \end{eqnarray*}$ (weil der Differenzvektor in U liegt), die Koordinatenspalte ist also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die beiden anderen liegen je schon da, wo sie hingehören, deshalb sind die Koordinatenspalten leichter zu handhaben, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre das Ergebnis
Damit ist die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Bin dankbar fürs drüberschauen,
Lg
kgV
Wink

17.03.2014, 09:55

Che Netzer

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja...
Ansonsten klingt alles gut – in Teil 2 fehlt natürlich nur noch die explizite Angabe der Abbildungsmatrix. [Edit: Ach, die hattest du vorhin schon hineineditiert Big Laugh

]

Wenn ihr über Dimensionen argumentieren dürft, könntest du Teil 1 auch mit
$\begin{eqnarray*} \dim\mathbb R^3/U=\dim\mathbb R^3-\dim U=2 \end{eqnarray*}$
abkürzen, denn alle (reellen) Vektorräume der Dimension Zwei sind isomorph.

17.03.2014, 10:18

kgV

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Ups...

da ist mir glatt der ganze $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abhanden gekommen.

Die Abkürzung über die Dimension dürften wir wohl auch verwenden, ja. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob wir den Teil mit "alle reellen Vektorräume der Dimension 2 sind isomorph" schon hatten. Werde das noch nachprüfen smile

Danke für die Kontrolle smile

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