Abgeschlossenheit zeigen

17.03.2014, 11:29	Blumenthal	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit zeigen Hallo, ich bin mir sicher, dass die Aufgabe sehr leicht ist. Zeige: Für $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} M = \{ mx + ny : m,n \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ abgeschlossen bzgl. Addition und Subtraktion (d.h. ein Modul in Z). Ich hätte nun einfach zwei Elemente aus der Menge gewählt und Addition bzw. Subtraktion durchgeführt. D.h.: Seien $\begin{eqnarray} mx+ny, m'x'+n'y' \in M \end{eqnarray}$ . Und dann?
17.03.2014, 11:50	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kannst du doch ganz einfach addieren und multiplizieren, also $\begin{eqnarray} (mx+ny) \cdot (m'x+n'y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (mx+ny) + (m'x+n'y) \end{eqnarray}$ berechnen und schauen, ob das ein Element aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist.
17.03.2014, 16:01	Blumenthal	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, d.h. ich kann die x- und y-Elemente quasi fest wählen und kann die m- und n-Elemente unterscheiden? In meinem 1. Beitrag hatte ich ja x,x', y, y' etc. gewählt.
18.03.2014, 08:05	Blumenthal	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kann ich einfach $\begin{eqnarray} (mx+ny) + (m'x+n'y) \end{eqnarray}$ berechnen, d.h. $\begin{eqnarray} (mx+ny) + (m'x+n'y) = (m+m')x + (n+n')y \end{eqnarray}$ Und da die ganzen Zahlen bzgl. Addition abgeschlossen sind ist auch m+m' eine ganze Zahl. Und daraus folgt dann schon, dass auch die gegebene Menge bzgl. Addition abgeschlossen ist.. ?
18.03.2014, 08:49	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge ist ja so definiert: Für $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Menge aller Elemente $\begin{eqnarray} mx+ny \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m,n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du dir überlegen: wie sehen zwei verschiedene Elemente aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ aus?

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