Frage zu geschlossenen Wegintegralen

17.03.2014, 15:58	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu geschlossenen Wegintegralen Halloo Dies ist eigentlich eine Physikaufgabe. Mir geht es hier einfach um die allgemeine Berechnung des geschlossenen Kurvenintegrals. Dieses Rohr wird von einem Strom durchflutet - und ich soll mithilfe des Durchflutungssatzes auf den Strom kommen der durch die Flächen der gebildeten Wegintegrale fließt - und somit zur magnetischen Feldstärke. Das Rohr ist vollkommen kreisförmig anzunehmen. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \Theta = \oint_{l}^{} \! H \cdot \, dl = H \oint_{l}^{} dl \! = H \cdot 2 \pi r = I_{ges} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist für mich vollkommen verständlich. Das gebildete Integral geht in einem Kreis - und der Kreisumfang entspricht $\begin{eqnarray} 2 \pi r \end{eqnarray}$ . Leider sind die Fälle nicht immer so einfach und ich möchte wissen - wie komm ich da eigentlich drauf? Muss ich mit der allgemeinen Darstellung für das Wegintegral arbeiten? $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(\gamma(t)) \ \\| \dot \gamma \\|_{2} \, \ dt \end{eqnarray}$ Danke im Voraus
17.03.2014, 20:04	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo moclus, möchtest du wissen wie man in diesem Fall rechnet oder wie man das allgemein macht? Hier wird man auf das Ergebnis mittels Polarkoordinaten kommen. $\begin{eqnarray} <br /> \int_I\! \, dx = \int_0^{2\pi}\! r \, dx = 2\pi r<br /> \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ die Gramsche Determinante der Ableitung von $\begin{eqnarray} \psi \to \left( rcos(\psi),rsin(\psi) \right) \end{eqnarray}$ . Im allgemeinen, so denke ich wird es sehr stark auf die Aufgabenstellung ankommen. Aber ein Übergang zu Polarkoordinaten wird meist hilfreich sein auf dem Weg zur Lösung. Denn die meisten Röhre werden ja einen kreisähnlichen Querschnitt aufweisen. Z.B. Ellipsen oder so. Ich hoffe das hilft dir. Gruß Till
17.03.2014, 20:20	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Ja, ich wollte das erstmal allgemein lösen. Ein Problem macht sich schon bei der Definition des Kurvenintegrals bei mir breit: Für einige Berechnungen sehe ich nur die Ableitung der euklidische Norm im Integranden. Also: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \\| \dot {\gamma (t)} \\|_{2} \, dt \end{eqnarray}$ Und manchmal: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(\gamma (t)) \cdot \\| \dot {\gamma (t)} \\|_{2} \, dt \end{eqnarray}$ wo liegt denn genau der Unterschied
18.03.2014, 12:29	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem einen Fall mit der Funktion passiert folgendes: Du wertest die Funktion an der Punkten deines z.B. Einheitskreises aus. Im anderen Fall ist deine Funktion gleich 1 und du bekommst als Ergebnis die Länge des Weges. Ich hoffe das hilft.
18.03.2014, 16:14	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir zeigen könntest - wie ich von der allgemeinen Darstellung des Kurvenintegrals, auf den Integranden 1 komme ..
19.03.2014, 10:36	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@moclus Du fragst, was der Unterschied zwischen folgenden Integralen ist (Hinweis: Ich schreibe $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} \dot \gamma \end{eqnarray}$ .) Integral 1: $\begin{eqnarray} s=\int_{a}^{b} \|\|\dot {\vec x}\|\|\,\,dt\| \end{eqnarray}$ Integral 2: $\begin{eqnarray} I=\int_{a}^{b} f\cdot \|\|\dot {\vec x}\|\|\,\,dt\| \end{eqnarray}$ Das Integral 1 gibt allgemein die Weglänge s einer Kurve an. Das Integral 2 kann man als die mechanische Arbeit entlang der Kurve gegen eine Kraft f interpretieren (Arbeit=Kraft mal Weg). Hat man speziell die konstante Kraft f=1, so stimmen beide Integrale überein. ------------- Deine Aufgabe ist eine Anwendung dieser Kurvenintegrale - speziell eine Anwendung des Durchflutungsgesetzes. Letzteres besagt, dass jeder Strom ein Magnetfeld hervorruft. Das Integral über das Magnetfeld H entlang einer geschlossenen Kurve, welche eine Fläche A umschließt, ergibt den Strom, der durch diese Fläche fließt, also im allgemeinsten Fall $\begin{eqnarray} I=\oint \vec H\,\,d\vec x \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ irgendeine Parameterdarstellung der geschlossenen Kurve. Wegen $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt}=\dot {\vec x} \end{eqnarray}$ kann man substituieren $\begin{eqnarray} d\vec x=\dot {\vec x}dt \end{eqnarray}$ und erhält $\begin{eqnarray} I=\oint \underbrace{\vec H\cdot \dot {\vec x}}_{\text{Skalarprodukt}}\,\,dt \end{eqnarray}$ In deinem speziellen Fall ist die Kurve ein Kreis, so dass das Magnetfeld tangential zu diesem Kreis verläuft. Die Vektoren $\begin{eqnarray} \dot {\vec x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec H \end{eqnarray}$ sind also überall parallel. In diesem speziellen Fall kann man folglich das Skalarprodukt im Integranden vereinfachen zu $\begin{eqnarray} \vec H \cdot \dot{\vec x}=\|\|\vec H\|\|\cdot \|\|\dot {\vec x}\|\| \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} I=\oint \|\|\vec H\|\|\cdot \|\|\dot {\vec x}\|\| \,\,dt \end{eqnarray}$ Da das Magnetfeld entlang des gesamten Weges aufgrund der Symmetrtie konstant ist, kann man es vor das Integral ziehen und bekommt $\begin{eqnarray} I=\|\|\vec H\|\| \cdot \underbrace{\oint \|\|\dot {\vec x}\|\| \,\,dt}_{\text{Weglänge }2\pi r} \end{eqnarray}$
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19.03.2014, 10:41	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte einfach mal deine am Anfang gestellte Aufgabe. Da wird ja auch "nur" der Umfang des Kreises berechnet. Deine Funktion f ist konstant 1. Du hast dann folgende Berechnung: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{\gamma } \! \, dx =\int_0^{2\pi} \! 1\|\|(r cos(\phi),r sin(\phi))\|\|_2 \, d\phi= \int_0^{2\pi} \! 1\sqrt{r^2 cos^2(\phi)+r^2 sin^2(\phi)} \, d\phi = \int_0^{2\pi} \! 1r \, d\phi = 2\pi r <br /> \end{eqnarray*}$ Hilft dir das?

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