Bedeutung des Gradientens

17.03.2014, 21:25	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung des Gradientens Hallöle. Vielleicht passt die Frage nicht ganz in ein Matheboard, aber dennoch würde ich mal gerne wissen welche, ggf. physikalische, Bedeutung der Gradient $\begin{eqnarray} \nabla \end{eqnarray}$ besitzt. Die Berechnung mittels partiellen Ableitungen finde ich ja relativ easy, aber wozu überhaupt? Weshalb fasst man diese partiellen Ableitungen überhaupt als Vektor zusammen? Dem Wikipedia-Artikel konnte ich überhaupt nicht folgen.
17.03.2014, 22:22	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du weißt doch sicher schon das der Gradient $\begin{eqnarray} \nabla f \end{eqnarray}$ einer Abbildung $\begin{eqnarray} f: U \to Y \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} U \subset X \end{eqnarray}$ offen) immer in Richtung der stärksten Änderung zeigt. Das ist doch schonmal schön zu wissen
17.03.2014, 23:21	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Stärksten Änderung von was?
18.03.2014, 07:45	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
... der Abbildung. Also es ist $\begin{eqnarray} f:U \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offen, sei jetzt $\begin{eqnarray} a \in U \end{eqnarray}$ gegeben ( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ). Der Gradient $\begin{eqnarray} \nabla f(a) \end{eqnarray}$ ist ja ein Vektor, und er zeigt grade in die Richtung, in der die Funktion die stärkste Änderung aufweißt. Vielleicht kannst du dir das so vorstellen: Wenn du in $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur vielfache eine Vektors einsetzt, erhälst du eine aus der Analysis I bekannte Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , jetzt setze einmal vielfache des Gradienten ein...

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