Produkt von Sigma-Algebren

18.03.2014, 01:10	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Sigma-Algebren Moin, ich soll zeigen, dass das Produkt zweier sigma-algebren (Definition unten) nicht notwendig eine sigma algebra ist. Habt ihr einen Vorschlag was man da als Gegenbeispiel nehmen kann? Meine Gedanken: Wenn das Produkt $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ der Sigma-Algebren $\begin{eqnarray} \mathfrak A \subset Pot(\Omega_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathfrak B \subset Pot(\Omega_2) \end{eqnarray}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray} x \in \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \ \ gdw \ \ x=\bigcup_{i=1} ^m A_i \times B_i \ mit \ A_i \in \mathfrak A \ und \ B_i \in \mathfrak B \end{eqnarray}$ , dann muss ich nun also zeigen (da $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ eine Mengenalgebra ist), dass es zwei sigma Algebren $\begin{eqnarray} \mathfrak A \ und \ \mathfrak B \end{eqnarray}$ gibt, bei denen für eine Folge $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ von Elementen aus $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \bigcup_{i \in \mathbb N ^{\star}} X_i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ . Aber irgendwie fällt mir kein Beispiel ein.
18.03.2014, 09:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch einfach abzählbare $\begin{eqnarray} \Omega_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega_2 \end{eqnarray}$ und deren Potenzmengen als Sigma-Algebren, also z.B. $\begin{eqnarray} \Omega_1=\Omega_2=\mathbb{N},\;\mathfrak A = \mathfrak B = \wp(\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ . Und nun betrachte die Menge ("Diagonale") $\begin{eqnarray} X = \left\{ (n,n) \bigm\| n\in\mathbb{N} \right\} = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} \{n\}\times \{n\} \end{eqnarray}$ , liegt die in $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ oder nicht?
18.03.2014, 12:15	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh! Ne X liegt nicht im Produkt der sigma Algebren, weil eine Produktmenge die Teilmenge von X ist, leer oder einelementig ist, also hat eine endliche Vereinigung $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^m A_i \times B_i \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathfrak A \boxtimes \mathfrak B \end{eqnarray}$ eine Mächtigkeit kleiner $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und damit eine Mächtigkeit kleiner $\begin{eqnarray} \|X\| \end{eqnarray}$ , also X ungleich $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^m A_i \times B_i \end{eqnarray}$ . da hätte ich ma selber drauf kommen können

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