Quotientenring isomorph zu Vervollständigung?

18.03.2014, 02:30	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenring isomorph zu Vervollständigung? Hallo, Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein kommutativer RIng, $\begin{eqnarray} f \in A \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \hat{A} \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ -adische Vervollständigung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Gilt dann immer (für $\begin{eqnarray} n \geq 0 \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} A/f^n \cong \hat{A}/ f^n \hat{A} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ noethersch, dann ist $\begin{eqnarray} f^n \hat{A} = \hat{(f^n)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A/(f^n) \cong \hat{A}/ \hat{(f^n)} \end{eqnarray}$ (siehe z.B. Atiyah-MacDonald 10.15). Was aber, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht noethersch ist? lg und danke

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