Orthogonale Transformation in Dimension 2

18.03.2014, 11:32	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Transformation in Dimension 2 Hey. Habe eine Frage zur Orthogonalen Gruppe. Sei $\begin{eqnarray} T\in O(\mathbb R ^{2} ) \end{eqnarray}$ , dann kann man ja T bestimmen durch die Basisvektoren $\begin{eqnarray} e_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} e_{1} \perp e_{2} \end{eqnarray}$ . Also habe ich dann $\begin{eqnarray} Te_{1}= \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann folgt außerdem, dass $\begin{eqnarray} Te_{2}= \pm \begin{pmatrix} -v \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist, da $\begin{eqnarray} \langle Te_{1}, Te_{2} \rangle =0 \end{eqnarray}$ sein muss. Damit kann man dann T mit folgender Matrix darstellen: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . In einem Buch habe ich die Aussage gefunden, dass aus $\begin{eqnarray} Te_{1}= \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} u^{2} +v^{2} =1 \end{eqnarray}$ ist. Wieso????
18.03.2014, 12:10	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte $\begin{eqnarray} \langle Te_1, Te_1 \rangle \end{eqnarray}$ für T orthogonal.

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