Teilbarkeit beweisen

18.03.2014, 11:41

haun-b

Teilbarkeit beweisen

hallo,
wie kann ich sehen, dass das produkt 5 aufeinanderfolgender zahlen durch 120 teilbar ist?

meine gedanken:

- 120=5!
- dass es durch 5 teilbar ist, ist klar, da bei 5 aufeinanderfolgenden zahlen eine durch 5 teilbare zahl vorkommt.
- genau so bei durch 3 teilbar
- genau so be durch 2 teilbar
- durch 4 teilbar ja eigentlich auch, weil spätes die 2. zahl durch 2 teilbar ist, also spätestens die 4. zahl durch 4 teilbar.

aber ich finde das nicht so sauber begründet.
kann man das etwas formaler ausdrücken?

18.03.2014, 11:56

klarsoweit

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RE: Teilbarkeit beweisen
Das ist doch eigentlich nur abzählen. In 5 aufeinanderfolgender Zahlen gibt es:
- eine Zahl, die durch 5 teilbar ist
- eine Zahl, die durch 4 teilbar ist
- eine Zahl, die durch 3 teilbar ist
- außer der Zahl, die durch 4 teilbar ist, noch eine weitere, die durch 2 teilbar ist.

Das kann man auch etwas formaler schreiben, aber im Grunde ist es das.

18.03.2014, 12:04

haun-b

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das ist mir jetzt eben noch nicht komplett klar, dass es so ist bei 5 aufeinanderfolgenden zahlen.
beispiel:
ich nehme:
7,8,9,10,11

7 und 11 sind ja jetzt prim.
dann muss es ja da zahlen geben, die gleichzeitig durch 3 und 4 teilbar sind oder 2 und 4, also mehr auf einmal abdecken, dass es gelingt. das sehe ich eben nicht, dass das immer so ist, dass es diese anderen zahlen dann gibt

18.03.2014, 12:07

HAL 9000

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Ich favorisiere folgenden, vielleicht zunächst ungewöhnlich erscheinenden Weg zum Beweis der allgemeineren Behauptung

Zitat:

Das Produkt von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist durch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ teilbar.

De facto äquivalent dazu ist nämlich die Aussage

Zitat:

Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ ist ganzzahlig für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und alle natürlichen Zahln $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Und deren Beweis basiert im wesentlichen auf der Identität des Pascalschen Dreiecks

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

18.03.2014, 12:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von haun-b
dann muss es ja da zahlen geben, die gleichzeitig durch 3 und 4 teilbar sind

Das muß nicht sein. Es gibt aber in jedem Fall eine Zahl, die durch 3 teilbar ist und eine Zahl, die durch 4 teilbar ist.

Zitat:

Original von haun-b
... oder 2 und 4, also mehr auf einmal abdecken

Auch das muß nicht sein. In jedem Fall ist eine durch 4 teilbar. Und da es 5 aufeinanderfolgender Zahlen sind, gibt es noch (wenigstens) eine weitere Zahl, die durch 2 teilbar ist.

18.03.2014, 12:14

haun-b

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okay, danke für die antwort.
über die genannte äquivalenz muss ich nochmals nachdenken, die leuchtet mir auf den ersten blick nicht direkt ein.

18.03.2014, 12:16

haun-b

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das mit dem abzählen wird mir gerade klarer, ich glaube, ich kann es jetzt nachvollziehen.
danke smile

18.03.2014, 13:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von haun-b
okay, danke für die antwort.
über die genannte äquivalenz muss ich nochmals nachdenken, die leuchtet mir auf den ersten blick nicht direkt ein.

Laut Definition des Binomialkoeffizienten ist

$\begin{eqnarray*} n(n-1)\cdot \ldots (n-k+1) = k!\cdot \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

Links steht das Produkt von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, beginnend mit der kleinsten $\begin{eqnarray*} (n-k+1) \end{eqnarray*}$ bis zur größten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und wenn nun $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist, dann ist die rechte Seite (und aufgrund dieser Identität natürlich auch die linke Seite) durch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ teilbar.

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