Drehstreckung Eindeutigkeit

18.03.2014, 13:08	JohnLemon	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehstreckung Eindeutigkeit Hi! Ich habe gerade begonnen zu studieren und habe folgende Übungsaufgabe (durch Ausfälle sind wir in den Vorlesungen leider ein wenig hinterher): Ich soll die Eindeutigkeit der Zerlegung der Drehstreckmatrix in eine Dreh- und eine Streckmatrix beweisen. Nur wie genau mache ich das formal richtig? (Ich weiß wie Dreh bzw Streckmatrizen aussehen, weiß leider nicht wie man sie hier anschreibt!) Danke!
18.03.2014, 15:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Drehung wird durch eine Matrix der Gestalt $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \ \ \text{mit} \ \ a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray}$ beschrieben. Für reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray}$ gibt es aber bekanntlich einen modulo $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmten Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = \cos \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \sin \varphi \end{eqnarray}$ (Polarkoordinaten). Die Drehmatrix kann daher auch so angegeben werden: $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und eine Streckung wird durch ein Vielfaches der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ beschrieben. Wenn $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ der Streckfaktor ist, ist also $\begin{eqnarray} S = \lambda E \end{eqnarray}$ die Matrix der Streckung. Die Matrizen $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ sind miteinander vertauschbar, denn es gilt $\begin{eqnarray} DS = SD = \lambda D \end{eqnarray}$ . Jetzt zur Drehstreckung. Diese wird durch eine Matrix $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} p & -q \\ q & p \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschrieben. Für $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ ist lediglich $\begin{eqnarray} p^2 + q^2 \neq 0 \end{eqnarray}$ vorauszusetzen. Von diesem $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ausgehend mußt du nun $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray}$ bestimmen, so daß $\begin{eqnarray} T = DS \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} D,S \end{eqnarray}$ die Gestalt von oben besitzen. Die Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} D,S \end{eqnarray}$ kann man wohl nur erzwingen, wenn man zusätzlich $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ voraussetzt. Überlege ganz anschaulich, warum das so ist. Zum Nachweis der Existenz der Darstellung kümmere dich zunächst um $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Und wenn ich dir sage, daß das etwas mit der Determinate zu tun hat, habe ich eigentlich schon zu viel verraten.
18.03.2014, 15:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabe ist die Dimension nicht auf n=2 beschränkt.
19.03.2014, 21:50	JohnLemon	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin mir ziemlich sicher dass es aber nur für 2 Dimensionen gedacht ist. Leider haben wir in den Vorlesungen noch keine Determinanten usw, weshalb ich nur selbst-erlerntes Wissen darüber habe. Deshalb wollte ich fragen ob jemand einen Ansatz für diesen Beweis hat. Ich weiß D(reh)S(treck) = SD = cD wobei c der Faktor der Streckung ist. Sofern c>0 ist das rein vom logischen her auch irgendwie eindeutig. Nur wie zeigt man sowas konrekt? Wenn sich nur c ändert könnte ich annehmen cD=dD woraus folgt c=d Wenn sich nur der Winkel der Drehung ändert kann ich vl irgendwie aus den Funktionsgraphen ablesen dass eine Drehung eindeutig ist, und wenn sich c und der Winkel ändert dann naja... Wie soll ich das Problem angehen?

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