Indirekter Beweis

18.03.2014, 17:24	Starcluster	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis Meine Frage: Wie führe ich einen indirekten Beweis für x positiv reelle Zahl $\begin{eqnarray} \Rightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2 \end{eqnarray}$ durch? Meine Ideen: Man muss ja mit $\begin{eqnarray} x + \frac{1}{x} < 2 \end{eqnarray}$ fortfahren. Aber was macht man danach?
18.03.2014, 17:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Du nimmst also an, dass es ein positives x gibt, sodass $\begin{eqnarray} x + \frac{1}{x} < 2 \end{eqnarray}$ gilt. Multipliziere jetzt die Ungleichung mit x.
18.03.2014, 17:36	Starcluster	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 + 1 < 2x \end{eqnarray}$
18.03.2014, 17:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja irgendwie auf einen Widerspruch kommen. Weißt du, wie man jetzt weitermachen könnte?
18.03.2014, 17:57	Starcluster	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nicht. Vielleicht eine Zahl einsetzen, die dem widerspricht? Aber das hätte man auch dann am Anfang schon machen können.
18.03.2014, 18:00	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst ja zeigen, dass es kein x gibt, für das die Ungleichung gilt. Mit Einsetzen kommt man da nicht weit, denn du kannst ja nicht alle positiven reellen Zahlen einsetzen und zeigen, dass die Ungleichung nicht gilt. Subtrahiere auf beiden Seiten der Ungleichung $\begin{eqnarray} 2x. \end{eqnarray}$ Edit: Ich mus jetzt mal weg; bin nachher wieder da. Aber eigentlich solltest du den Rest jetzt selbst schaffen.
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18.03.2014, 18:19	Starcluster	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 - 2x + 1 < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x - 1)^2 < 0 \end{eqnarray}$ Dann liegt doch der Widerspruch darin, dass durch das Quadrieren immer ein Wert >= 0 rauskommt. Egal, welchen Wert man für x einsetzt.
18.03.2014, 21:21	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und damit ist der Beweis fertig.
18.03.2014, 21:48	Starcluster	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe!

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