Ableitung - Schreibweise

18.03.2014, 17:27

reflexion

Ableitung - Schreibweise

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe eine Frage zu einer Ableitung die ich nicht verstehe!

[attach]33619[/attach]

Bei Punkt 2 wird das Totale Diefferential gebildet und meine Schreibweise wäre dafür:

dU = dU/dD + dU/dM

... warum multipliziert er hier nochmals mit dD und dM nach dem jeweiligen Term? - ... und was ist das für ein Zeichen was er da verwendet, das ist doch nicht Delta? ... Ich kenne nämlich nur das kleine und grüße Delta, wobei für mich das große Delta (Dreieck) einfach die Differenz zweier Punkte bildet Bsp: x2-x1

Danke für die Hilfe!

Meine Ideen:
Bei dem Punkt 2 würde ich das so anschreiben:

Ausgangsfunktion: U = U(M,D)

Totales Differential: dU = dU/dM + dU/dD
in Worten für mich: Differential von der Funktion U ist die Funktion U nach M abgeleitet plus die Funktion U nach D abgeleitet...

Die Schreibweise ist mir einfach nicht klar...

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18.03.2014, 18:12

Kasen75

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RE: Ableitung - Schreibweise
dD kannst du schon als die (kleine) Differenz von zwei D-Werten sehen. Die Gleichung des totalen Differentials, gilt nur wenn dD und dM gegen 0 geht.

Jedoch kann man auch für kleine Werte von dD, ungleich 0, approximativ die Gleichung verwenden. Du kannst dann hier im Prinzip auch "Dreiecke" verwenden-aber kein Gleichheitszeichen.

Zitat:

Original von reflexion
[
... warum multipliziert er hier nochmals mit dD und dM nach dem jeweiligen Term? -

Eigentlich wird ´durch dD und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial U}{\partial M} \end{eqnarray*}$ dividiert. Es geht letztendlich um eine Umformung.
Gleichung 3 sagt dann aus, dass das Verhältnis der (kleinen) Veränderungen (Grenzrate der Substitution) gleich dem umgekehrten (negativem) Verhältnis der Grenznutzen entspricht.

Grüße.

18.03.2014, 18:21

mYthos

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Dass deine Schreibweise schon a priori nicht stimmen kann, sieht man daran, dass die Dimension links und rechts der Gleichung nicht gleich ist.
Links steht ein Differential, rechts jedoch die Quotienten zweier Differentiale, also bereits die Ableitungen.

Sehen wir uns der Einfachheit halber zunächst eine Funktion einer Variablen an:

Gegeben ist h: h(x), die Ableitung lautet h'(x). Geschrieben wird dies

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd h}{\dd x} = h'(x) \end{eqnarray*}$

Formal kann mit den Differentialen multipliziert werden, so ist

$\begin{eqnarray*} \dd h = \frac {\dd h}{\dd x} \dd x \end{eqnarray*}$

Wenn man sich die Gleichung (wiederum formal) durch dx gekürzt denkt, steht auf beiden Seiten dh, das Differential der Funktion h.

Diese Schreibweise wird nun auf eine Funktion zweier Variablen ausgedehnt:

f: f(x, y)

Diese Funktion kann entweder nach x oder nach y abgeleitet werden, diese Ableitungen nennt man partielle Ableitungen.
Das totale Differential wird nun definitionsgemäß mittels der partiellen Ableitungen als Summe angeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \dd f = \frac{\partial f}{\partial x} \dd x + \frac{\partial f}{\partial y} \dd y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ hat also eine x- und eine y-Komponente.

Diese Gleichung kann so gedeutet werden, dass das vollständige Differential der Funktion f die gesamte Information über die Ableitung in beide Richtungen der Koordinatenachsen beinhaltet, die aus den (partiellen) Ableitungen nach den Richtungen der einzelnen Koordinatenachsen gebildet wird.

Noch ein Beispiel zur Illustration:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2x^3 + 3y^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 12y^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd f = 6x^2 \dd x + 12y^3 \dd y \end{eqnarray*}$

mY+

18.03.2014, 20:10

reflexion

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Erstmals Danke mythos für deine Erklärung! - Leider habe ich erst während meines Posts gesehen und konnte jetzt alles löschen *g* - Wenn ich eventuell nochmals kurz deine Zeit beanspruchen dürfte um ein paar Fragen zu deiner Erklärung zu stellen wäre das super! smile

Vorweg, uns wird das nie erklärt, 90% nehmen die Formeln einfach her und dann kann man das auch rechnen, allerdings reicht mit das nicht und ich möchte das eigentlich auch verstehen. Aber viele verwenden die Differentialrechnung einfach und die meisten wissen nicht was sie tun, naja... egal! - nun zum eigentlichen:

In deinem beispiel sagst du ja dh / dx = h´(x)
Ich selbst erkläre mir das immer so das die Ableitung einer Funktion f folgendes ist:
f´(x) = ( f(x2) - f(x1) ) / (x2 - x1)
wobei hier x2->x1 (delta x) gegen 0 geht [Grenzwert?] ... so ist bis jetzt immer mein Verständnis für die Differentialrechnung gewesen.

... weiter bei deinem Beispiel:
dh / dx = h´(x)

das wäre für mich also h´(x) = Delta h(x) / Delta x = ( h(x2) - h(x1) ) / (x2 - x1) = dh / dx
Ist das richtig so?

Dein nächster Schritt ist nun dh = (dh / dx) * dx [Du bringst das dx auf die andere seite und ersetzt das h´(x) durch dh/dx]
Allerdings ist der Schritt für mich ein wenig schwer nachzuvollziehen? - Für mich wäre es das gleiche als würde man folgendes machen:

x = 24y + 3 und danach würde man hinschreiben 24y + 3 = 24y + 3 pder x = x ... was hat das für eine Aussagekraft und Sinn?

Partiell ableiten ist mir bekannt smile

Nehmen wir dein Beispiel:

f(x,y) ... Eine Funktion wo von der Variable x und y abhängt.
Hier setzt sich doch das Totale Differential zusammen aus den Partiellen Ableitung nach den beiden Variablen, oder? - Für mich wäre das also folgendes:

f´(x,y) = df/dx + df/dy -> formal wäre das für mich also Die ABleitung von f nach x plus die ableitung von f nach y.
ich versteh hierbei einfach nicht warum man nochmals mit dx und dy multiplizieren muss?
Wenn ich f(x) ableite bekomme ich f´(x) = df/dx
Wenn ich f(y) ableite bekomme ich f´(y) = df/dy
Wieso bekomme ich dann für f(x,y) nicht folgendes heraus? f(x,y) = df/dx + df/dy ???

Du hast unten nochmals ein Beispiel zur Illustration gegeben, genau das verstehe ich nicht? - Sorry, falls ich mich ein bisschen doof anstelle, aber ich mag dich nicht anlügen, es ist für mich ein wenig kompliziert smile

Delta (großes Dreieck) bedeutet ja zB. folgendes: DELTA(x) = x2-x1
was ist aber der prinzipielle unterschied zwischen df/du und dem griechischen df/du ???

Danke im Voraus smile

19.03.2014, 12:53

mYthos

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Zitat:

Original von reflexion

In deinem beispiel sagst du ja dh / dx = h´(x)
Ich selbst erkläre mir das immer so das die Ableitung einer Funktion f folgendes ist:
f´(x) = ( f(x2) - f(x1) ) / (x2 - x1)
...

Das stimmt so nicht. Der obige Term ist zunächst der Differenzenquotient, also $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ .

Erst NACH der Grenzwertbildung für $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ ist es der Differentialquotient f '(x) = df/dx

Zitat:

Original von reflexion
...
... weiter bei deinem Beispiel:
dh / dx = h´(x)

das wäre für mich also h´(x) = Delta h(x) / Delta x = ( h(x2) - h(x1) ) / (x2 - x1) = dh / dx
Ist das richtig so?
...

Aus dem oben erwähnten Grund so nicht.
Es gilt nur h'(x) = dh/dx

Zitat:

Original von reflexion
...
Dein nächster Schritt ist nun dh = (dh / dx) * dx [Du bringst das dx auf die andere seite und ersetzt das h´(x) durch dh/dx]
...
... was hat das für eine Aussagekraft und Sinn?

Das Differential dh wurde mit dx/dx erweitert, um zu zeigen, wie man formal mit den Differentialen rechnen kann:

dh = dh * dx/dx
-->
wegen h'(x) = dh/dx ist
dh = h'(x) dx

Das ist natürlich gleichbedeutend mit h'(x) = dh/dx
Es wurde ja tatsächlich und absichtlich "im Kreis" gerechnet, um dir klar zu machen, dass das Differential der Funktion h gleich deren Ableitung h'(x) * dx ist.
Denn dies wird analog jetzt bei der Funktion mit 2 Variablen und deren totalen Differential gemacht.

Zitat:

Original von reflexion
...
Nehmen wir dein Beispiel:
...
f´(x,y) = df/dx + df/dy -> formal wäre das für mich also Die ABleitung von f nach x plus die ableitung von f nach y.
ich versteh hierbei einfach nicht warum man nochmals mit dx und dy multiplizieren muss?
Wenn ich f(x) ableite bekomme ich f´(x) = df/dx
Wenn ich f(y) ableite bekomme ich f´(y) = df/dy
Wieso bekomme ich dann für f(x,y) nicht folgendes heraus? f(x,y) = df/dx + df/dy ???
...

Das ist in mehrfacher Hinsicht unzutreffend.
df/dx und df/dy gibt es in dieser Form nicht, denn dies sind schon partielle Ableitungen, also mit dem kleinen Delta voran.
Und deren Summe ist ausserdem NICHT gleich dem totalen Differential.
Die beiden von dir angeschriebenen Funktionen f(x) bzw. f(y) gibt es gar nicht, daher auch nicht die Ableitungen f '(x) und f '(y).
Was es gibt, ist die Funktion f: f(x,y), also eine Funktion, die von BEIDEN Variablen x, y zugleich abhängt.
Wenn zu einem späteren Zeitpunkt eine Variable festgehalten (konstant) wird, dient dies nur dem Zweck der partiellen Ableitungen.

Zitat:

Original von reflexion
...
Du hast unten nochmals ein Beispiel zur Illustration gegeben, genau das verstehe ich nicht?
...
Delta (großes Dreieck) bedeutet ja zB. folgendes: DELTA(x) = x2-x1
was ist aber der prinzipielle unterschied zwischen df/du und dem griechischen df/du ???
...

DELTA(x) = x2 - x1 ist richtig, das ist aber immer noch eine messbare Differenz, welche VOR dem Grenzübergang besteht.
Nach dem Grenzübergang wird sie unmessbar klein, dann eben zu $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ bzw. zu $\begin{eqnarray*} \partial x \end{eqnarray*}$ und deswegen als Differential bezeichnet.

Zum Unterschied:

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd f}{\dd u} \end{eqnarray*}$ ist der Differentialquotient einer Funktion f: f(u) (mit einer Variablen)

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial u} \end{eqnarray*}$ ist der partielle Differentialquotient (partielle Ableitung) einer Funktion f: f(u, m, ..) (mit mehreren Variablen u, m, ...) nach u

mY+

19.03.2014, 18:40

reflexion

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Zitat:

Original von mYthos
Das stimmt so nicht. Der obige Term ist zunächst der Differenzenquotient, also $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ .

Erst NACH der Grenzwertbildung für $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ ist es der Differentialquotient f '(x) = df/dx

Achso, dann muss es ja so lauten:

$\begin{eqnarray*} {\Delta f(x)} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x2) - f(x1)}{x2-x1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\dd f}{\dd x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x2) - f(x1)}{x2 - x1} \end{eqnarray*}$

des weiteren könnte ich auch umformen und es so hinschreiben, oder? ...

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\dd f}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ------> $\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd x} = \frac{\dd f}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ------> $\begin{eqnarray*} {\dd f} = \frac{\dd f}{\dd x} \dd x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos
Das Differential dh wurde mit dx/dx erweitert, um zu zeigen, wie man formal mit den Differentialen rechnen kann:

dh = dh * dx/dx
-->
wegen h'(x) = dh/dx ist
dh = h'(x) dx

Das ist natürlich gleichbedeutend mit h'(x) = dh/dx
Es wurde ja tatsächlich und absichtlich "im Kreis" gerechnet, um dir klar zu machen, dass das Differential der Funktion h gleich deren Ableitung h'(x) * dx ist.
Denn dies wird analog jetzt bei der Funktion mit 2 Variablen und deren totalen Differential gemacht.

nehmen wir nochmals 2 Schreibweisen von diesem Differential:

1) $\begin{eqnarray*} \dd h = h'(x) \dd x \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \dd h = \frac{\dd h}{\dd x}\dd x \end{eqnarray*}$

was hat das aber für eine Aussagekraft bzw. für was brauche ich das?

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd h}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ---> dies bedeutet für mich das die funktion h(x) nach x abgeleitet wird...

aber aus Beispiel 2 steht nur dh auf einer seite? ... was bedeutet das genau bzw. welche Aussagekraft besitzt es alleinstehend auf einer seite?

Zitat:

Original von mYthos
Das ist in mehrfacher Hinsicht unzutreffend.
df/dx und df/dy gibt es in dieser Form nicht, denn dies sind schon partielle Ableitungen, also mit dem kleinen Delta voran.
Und deren Summe ist ausserdem NICHT gleich dem totalen Differential.
Die beiden von dir angeschriebenen Funktionen f(x) bzw. f(y) gibt es gar nicht, daher auch nicht die Ableitungen f '(x) und f '(y).
Was es gibt, ist die Funktion f: f(x,y), also eine Funktion, die von BEIDEN Variablen x, y zugleich abhängt.
Wenn zu einem späteren Zeitpunkt eine Variable festgehalten (konstant) wird, dient dies nur dem Zweck der partiellen Ableitungen.

Also so gesehen gibt es partielle Ableitungen erst ab mindestens 2 Variablen? - Auch die Schreibweise darf dafür nur dort verwendet werden?

Nehmen wir folgende Funktion an:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 3x^2 + 4y^3 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung nach x wäre also:

$\begin{eqnarray*} f'(x',y) = \frac{\partial f}{\partial x} + y \end{eqnarray*}$

die ableitung nach y wäre:

$\begin{eqnarray*} f'(x,y') = x + \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$

das Totale Differential wäre:

$\begin{eqnarray*} f'(x',y') = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos
DELTA(x) = x2 - x1 ist richtig, das ist aber immer noch eine messbare Differenz, welche VOR dem Grenzübergang besteht.
Nach dem Grenzübergang wird sie unmessbar klein, dann eben zu $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ bzw. zu $\begin{eqnarray*} \partial x \end{eqnarray*}$ und deswegen als Differential bezeichnet.

Zum Unterschied:

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd f}{\dd u} \end{eqnarray*}$ ist der Differentialquotient einer Funktion f: f(u) (mit einer Variablen)

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial u} \end{eqnarray*}$ ist der partielle Differentialquotient (partielle Ableitung) einer Funktion f: f(u, m, ..) (mit mehreren Variablen u, m, ...) nach u

mY+

Also um nochmals zum Anfangsproblem zu kommen bei dieser funktion:

$\begin{eqnarray*} U = U(M,D) \end{eqnarray*}$

1) Ableitung bilden:

$\begin{eqnarray*} U'(M',D') = \frac{\partial U}{\partial M} + \frac{\partial U}{\partial D} \end{eqnarray*}$

das wäre gleichbedeutend mit dem was er auf der folie bei punkt 2 geschrieben hat, aber das verwirrt mich:

$\begin{eqnarray*} \dd U = \frac{\partial U}{\partial D} \dd U + \frac{\partial U}{\partial M} \dd M \end{eqnarray*}$

- warum wird hier mit $\begin{eqnarray*} \dd U \end{eqnarray*}$ und nicht mit $\begin{eqnarray*} \partial U \end{eqnarray*}$ multipliziert? -> Genau das gleiche ist bei D der fall???
- Links steht ebenfalls $\begin{eqnarray*} \dd U \end{eqnarray*}$ ->irgendwie wird hier die partial schreibweise und die für das totale differential vermischt und ich verstehe das nicht ganz?

im Punkt 3 setz er dann $\begin{eqnarray*} \dd U = 0 \end{eqnarray*}$ ---> was bedeutet das wenn man nur $\begin{eqnarray*} \dd U = 0 \end{eqnarray*}$ setzt?

Wenn er zum Beispiel bei einer Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd x} = 0 \end{eqnarray*}$ also 0 setzt, dann sucht er denn Punkt wo der Funktionswert der 1. Ableitung gleich 0 ist. aber wenn er wie oben nur $\begin{eqnarray*} \dd U = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, verstehe ich nciht was man damit bezweckt???

Danke im Voraus für deinen super Input smile

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