Borel-algebra B(R^n+m)=B(R^n \times R^m)

18.03.2014, 21:29	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-algebra B(R^n+m)=B(R^n \times R^m) Hallo, Ich will zeigen, dass für die Borell-Algebra gilt $\begin{eqnarray} B(\mathbb R^{n+m})= B(\mathbb R^n) \otimes B(\mathbb R^m) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} B(\mathbb R^n \times \mathbb R^m)= B(\mathbb R^n) \otimes B(\mathbb R^m) \end{eqnarray}$ . kann ich verstehen wie dass passen kann. Wir kann ich nun $\begin{eqnarray} B(\mathbb R^{n+m})=B(\mathbb R^n \times \mathbb R^m) \end{eqnarray}$ zeigen?
19.03.2014, 17:41	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch per Definition. $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n+m} = \mathbb R^n \times \mathbb R^m \end{eqnarray}$ Ich glaube du machst dir das zu schwer.
19.03.2014, 19:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch die Standardtopologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n+m} \end{eqnarray}$ stimmt mit der Produkttopologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n\times\mathbb R^m \end{eqnarray}$ überein.
19.03.2014, 21:52	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab leider keine Ahnung von Produkttopologie. Ist das kompliziert? Ich habe heute noch einmal unseren Übungsgruppenleiter gefragt, und er meinte es reicht wenn wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(B(R^{n+m}))=B(R^n) \otimes B(R^m) \end{eqnarray}$ . für die kanoische Bijektion. Wir haben gezeigt, dass $\begin{eqnarray} X:=f(B(R^{n+m})) \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray} R^n \times R^m \end{eqnarray}$ ist, mir fällt nun aber nicht ein warum Mengen aus $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} Y:=B(R^n) \otimes B(R^m) \end{eqnarray}$ liegen sollten (geschweige denn umgekehrt). Wir haben noch gezeigt, dass $\begin{eqnarray} B(R^n) \end{eqnarray}$ von Mengenring der endlichen Quadersummen $\begin{eqnarray} D(R^n) \end{eqnarray}$ erzeugt wird und dass jede offene Menge $\begin{eqnarray} U \subset R^n \end{eqnarray}$ disjunkte Vereinigung abzählbar vieler Quader mit rationalen Eckpunkten ist. Ich komme so weit:
20.03.2014, 14:40	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
hat keiner n Tipp wie ich hier weiter kommen kann?
20.03.2014, 22:04	Wolga	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, der Beweis ist etwas aufwendig, ich denke nicht, das jemand Lust hat ihn zu vorzuführen. Du findest ihn in z.B. Forster AnalysisIII. VG P.S. Der Notation zur Folge geht die Vorlesung nach dem Buch.
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21.03.2014, 11:41	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann in dem Buch nur das hier auf Seite 10 finden (Anhang). Ich habe das Buch bis zu dieser Stelle durchgearbeitet und bis dahin kann ich jetzt nichts finden, was mir irgendwie beim Beweis dieser Behauptung hilft. Meinst du eventuell eine andere Ausgabe? oder hast du eventuell noch eine andere Literaturempfehlung?
21.03.2014, 23:04	Taco	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab jetzt einen Beweis gefunden, aber was ich immer noch nicht verstehe ist, warum man einfach $\begin{eqnarray} \mathbb R^{m+k}= \mathbb R^m \times \mathbb R^k \end{eqnarray}$ setzen kann. Das eine ist doch ein m+k-Tupel und das andere ein Paar. Das wird da einfach übergangen bzw. gar nicht erwähnt (Anhang).

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