Problem Gruppeneigenschaft

19.03.2014, 10:57

bsc_info

Problem Gruppeneigenschaft

Hey,

Wir haben dieses Semester Diskrete Mathematik für Informatiker. Und nun habe ich ein kleines Problem mit den Eigenschaften von Gruppen.

Mein Problem ist ziemlich am Anfang:

Wir haben ganz normal Gruppen hergeleitet, wie auch auf wikipedia. Dann 2 Sätze aufgestellt und bewiesen.

Satz1.1:
...
$\begin{eqnarray*} b*b =b \Rightarrow b=e \end{eqnarray*}$

Satz 1.2
...Es gibt genau ein Inverses zu jedem Element der Gruppe..
$\begin{eqnarray*} a^{-1}*a=e \end{eqnarray*}$

Und nun heißt es im Skript (zum Beispiel):
$\begin{eqnarray*} a*x=b \Rightarrow x=a^{-1}*b \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} x*a=b \Rightarrow x=b*a^{-1} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun das $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ . Multipliziert man das einfach so in
die Gleichung, egal ob links oder rechts? Oder kann mir jemand kurz einen Beweis schreiben?
Verlinken auf eine Website?

Vielen lieben Dank

19.03.2014, 11:13

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem Gruppeneigenschaft

Zitat:

Original von bsc_info
Mein Problem ist nun das $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ . Multipliziert man das einfach so in
die Gleichung, egal ob links oder rechts?

Nein, es ist nicht egal, ob man das von links oder rechts dran multipliziert.

Zitat:

Original von bsc_info
Und nun heißt es im Skript (zum Beispiel):
$\begin{eqnarray*} a*x=b \Rightarrow x=a^{-1}*b \end{eqnarray*}$

Benutze Satz 1.2 und multipliziere von links $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ an beide Seiten der Gleichung. Auf der linken Seite der Gleichung kann man dann Satz 1.2, genauer die Aussage $\begin{eqnarray*} a^{-1}*a=e \end{eqnarray*}$ , benutzen und schließlich die Eigenschaft des neutralen Elements benutzen.

Die andere Aussage funktioniert analog, multipliziere hier $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ von rechts.

19.03.2014, 11:31

bsc_info

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich habe mich unverständlich ausgedrückt. Dass ich $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ links an die gleichung multiplizieren muss ist klar. Die Frage ist nur: Darf ich dieses $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ egal an welche Stelle in der Gleichung multiplizieren?
Ist das nicht ein Widerspruch mit dem Kommutativgesetz? Bzw. woher weißt ich wenn ich $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ links an die Gleichung multipliziere nicht im Widerspruch mit dem Komm.gesezt ist?

19.03.2014, 11:44

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bsc_info
Achso ich habe mich unverständlich ausgedrückt. Dass ich $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ links an die gleichung multiplizieren muss ist klar. Die Frage ist nur: Darf ich dieses $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ egal an welche Stelle in der Gleichung multiplizieren?

In dem Sinne ist die Stelle nicht egal. Man kann nichts "mitten in die Gleichung" hineinmultiplizieren, sondern nur von links oder von rechts.

Zitat:

Original von bsc_info
Ist das nicht ein Widerspruch mit dem Kommutativgesetz? Bzw. woher weißt ich wenn ich $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ links an die Gleichung multipliziere nicht im Widerspruch mit dem Komm.gesezt ist?

Ich verstehe nicht, was das mit dem Kommutativgesetz zu tun haben soll?!
Wenn du mit einem Gruppenelement multiplizierst, so ist das Kommutativgesetz doch gar nicht im Spiel.

19.03.2014, 13:07

bsc_info

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von magic_hero

In dem Sinne ist die Stelle nicht egal. Man kann nichts "mitten in die Gleichung" hineinmultiplizieren, sondern nur von links oder von rechts.

Ah ok das wollte ich wissen. Nur kann ich nirgends finden, dass beweist/sagt dass man einfach ein Element von links oder rechts multiplizieren kann.
Vielen Dank Wink

19.03.2014, 13:13

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bsc_info
Nur kann ich nirgends finden, dass beweist/sagt dass man einfach ein Element von links oder rechts multiplizieren kann.

Na ja, in einer Gruppe kann man ja zwei Elemente der Gruppe mithilfe der gegebenen Verknüpfung verknüpfen. Ich weiß nicht, wo da noch das Problem liegen mag. Falls du dazu noch eien Frage hast, gerne, aber sag dann bitte etwas konkreter, wo genau das Problem liegt.

Neue Frage »

Antworten »

Problem Gruppeneigenschaft

Verwandte Themen