Hauptsatz der Galoistheorie

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pittersen Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsatz der Galoistheorie
Meine Frage:
Hallo, ich steh mal wieder so richtig auf dem Schlauch.
Es geht um den Körper der 63-ten Einheitswurzeln. Der Grad der Körpererweiterung über Q ist meiner Meinung nach 36.
Ich möchte wissen, wieviele Zwischenkörper von Grad 3 über Q es gibt.

Der Körper der 7-ten Einheitswurzeln hat zyklische Galoisgruppe der Ordnung 6 und daher GENAU eine Untergruppe der Ordnung drei. Das liefert mir einen Körper von Grad 3.
Adjungiere ich jetzt die 9-ten Einheitswurzeln an den Körper der 7-ten Einheitswurzeln, so hat diese Erweiterung den Grad 6. Daher gibt es hier auch EINE Untergruppe der Ordnung drei. Insgesamt komme ich so für den Körper der 63-ten Einheitswurzeln auf genau ZWEI Zwischenkörper von Grad 3 über Q.
Sind meine Überlegungen soweit richtig? Wenn ja dann betrachte die drei folgenden Polynome:
Alle zerfallen komplett im Körper , sind aber über Q irreduzibel. Die Zerfällungskörper der Polynome liefern mir 3 Erweiterungen von Q von Grad 3. Da aber alle in
enthalten sind, müssen zwei der drei Körper doch gleich sein oder nicht? Meine Frage: Stimmt das so? Welche Körper sind gleich bzw verschieden und wie zeige ich das?
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Meine Ideen:
Ich hab mit sagemath die Diskriminanten der Zerfällungskörper berechnet und komme darauf, dass das 2te Polynom Diskriminante 49=7^2 hat und die anderen beiden 3969=3^4*7^2.
Das deutet darauf hin, dass der Zerfällungskörper des zweiten Polynoms in
liegt, was ich sogar schon zeigen konnte. Ich kann sogar Erzeuger aller drei Zerfällungskörper angeben: Sie sind

Dabei ist . Mir würde also schon genügen zu zeigen, dass .
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gilt .

Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie genügt es die Anzahl der Untergruppen von mit Ordnung 3 zu bestimmen.
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Eben! und das sind doch zwei oder irre ich mich????
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pittersen
und das sind doch zwei oder irre ich mich????

Du irrst. Es sind mehr.

Nach deiner Rechnung gäbe es auch nur einen Zwischenkörper der Ordnung 3.
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kannst du mir sagen wieviele Untergruppen der Ordnung drei diese Galoisgruppe dann hat, wenn es nicht zwei sind? und eventuell auch warum oder wenigstens einen Tipp? Ich bin ziemlich schlecht in Gruppentheorie. ist doch isomorph zu oder? wie sieht aus?
Ich kann das echt nicht gut, verdammt!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie sieht aus?

Die Gruppe hat 6 Elemente. Die Struktur der Gruppe kann man per Papier und Stift schnell bestimmen, was insbesondere in diesem Fall
Zitat:
Ich kann das echt nicht gut, verdammt!

eine sinnvolle Übung ist.

Danach bestimme alle Elemente der Ordnung 3 der Gruppe.
 
 
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab mal die Elemente in angeschaut und habe neben dem Neutralelement zwei Elemente der Ordnung 3, zwei Elemente der Ordnung 6 und ein Element der Ordnung 2 gefunden. Das macht so wie ich seh eine Untergruppe der Ordnung drei.

Seh ich das falsch; die Untergruppe ist {e,4,7}?!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Seh ich das falsch; die Untergruppe ist {e,4,7}?!

Die untergruppe ist {1,4,7}. Es gibt in der Gruppe kein Element das e heißt.

Welche Elemente der Ordnung 3 hat nun

und welche Unterrgruppen der Ordnung 3 ergeben sich damit?
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Untergruppe der Ordnung 3 in ist doch {1,2,4}.
Damit hat in das Element (1,4) die Ordnung 3. Genauso auch die Elemente (1,7), (2,1), (2,4), (2,7), (4,1), (4,4) und (4,7).
Jedes dieser Elemente erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 3, oder?
Diese sind allerdings nicht alle paarweise disjungt; so erzeugen zb (2,1) und (4,1) dieselbe Gruppe.
Ebenso die Elemente (1,4) und (1,7) sowie die Elemente (2,4) und (4,7). Auch die Elemente (2,7) und (4,4) erzeugen dieselbe Gruppe.
Das macht also insgesamt 4 Untergruppen der Ordnung 3 in meiner Galoisgruppe und damit 4 Grad-3-Erweiterungen von Q?!

Ist das soweit richtig?
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn ich wissen will wieviele Zwischenkörper von Grad drei über Q es gibt, hilft es mir nichts, zu wissen, wieviele Untergruppen der Ordnung 3 die Galoisgruppe hat.
Ich muss wissen, wieviele Untergruppen von INDEX 3 es in der Galoisgruppe gibt.
Die Galoisgruppe des Körpers der 63-ten Einheitswurzeln hat Ordnung
phi(63)=phi(7)*phi(9)=6*6.
Untergruppen der Ordnung 12 haben dann Index 36/12=3, oder nicht?
Das bedeutet, ich muss rausfinden, wieviele Untergruppen mit Ordnung 12 es gibt.

Heißt das, ich muss alle Untergruppen mit 12 Elementen finden? Wie soll das gehen?
Was ist hier faul, ich bin stark am zweifeln an mir selbst!!

kann mir jemand helfen?
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Also Captain Kirk. Ich komm einfach nicht drauf.
Ich bin der festen Überzeugung, dass es nur zwei Zwischenkörper von Q(zeta63) gibt, die Grad 3 über Q haben.
Wenn du weißt, dass ich mich irre, dann sag mir bitte wieso.
Ich finde in Q(zeta63) genau 2 Untergruppen von Index 3. Das macht zwei Fixkörper von Grad 3 über Q.

Vielen Dank, pittersen
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
mir hat die sache keine ruhe gelassen, ich bin auch wie captain kirk der meinung,
dass es weit mehr als 2 zwischenkörper der ordnung 3 gibt.
Ich bin zu folgenden ergebnissen gekommen:
(Z/7Z)°={1,2,3,4,5,6} elemente der ordnung 1 oder 3 davon {1,2,4}
(Z/9Z)°={1,2,4,5,7,8} elemente der ordnung 1 oder 3 davon {1,4,7}
Wenn man die beiden untergruppen jetzt kreuzt, erhält man dann
{1,2,4}x{1,4,7}={(1,1), (1,4), (1,7),(2,1), (2,4), (2,7), (4,1), (4,2), (4,7)},
Und jedes zahlenpaar beschreibt tatsächlich einen zwischenkörper, dann müsste
es eigentlich 9 zwischenköper der ordnung 3 geben...
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ollie!
Die neun Elemente, die du da aufgeschrieben hast, habe ich auch. Allerdings erzeugt das element (1,1) keine Gruppe der ordnung 3 Augenzwinkern . Von den übrigen 8 elementen erzeugen je immer zwei dieselbe Gruppe, daher auch denselben Körper. So kommt man auf 4 Gruppen der ordnung drei.

Das Problem ist aber vielmehr, dass ich an gruppen vom INDEX 3 interessiert bin, dann hat nämlich der Fixkörper Grad 3 über Q hat.
Dazu muss ich Gruppen von Ordnung 12 finden. Davon habe ich 2 gefunden, aber nicht mehr.

Wenn ich die Gruppen von ORDNUNG 3 nehme und den Fixkörper bilde, hat dieser Grad 12 über Q.

Oder sehe ich das falsch? ganz schön seltsam...
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab mehr als die zwei gefunden. Es sind 4 Stück.
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