Riemannsummen |
| 19.03.2014, 19:38 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Riemannsummen Aus einem Beweis weiß ich, dass unter der voraussetzung, dass f(x) > 0 für alle x ist, auch die OBersumme > 0 ist für alle zerlegungen mit stützstellen. nun soll ich zeigen, dass dies nicht für die untersummen gilt. Meine Ideen: leider hab ich trotz langer überlegung nicht viel herausbekommen. eig müsste ich nur eine funktion finden, bei der die funktionswerte für alle x größer 0 sind, jedoch die untersumme nicht größer 0 sein muss... kann mir vllt jemand helfen? wäre echt cool! |
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| 19.03.2014, 20:50 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie sind denn die Untersummen definiert? Wenn du bedenkst, dass die Differenzen zwischen den Stützstellen immer positiv sind, bleibt eigentlich nur eine Methode, die Summe null werden zu lassen. Welche? Mit dieser Bedingung kannst du dir dann eine entsprechende Funktion basteln 
Lg kgV 
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| 19.03.2014, 20:56 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, indem der funktionswert 0 ist, also man dann die differenzen mit 0 multipliziert und dann wird die summe 0. doch wie kann der funktionswert 0 sein, wenn für alle x f(x) > 0 sein muss? |
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| 19.03.2014, 21:01 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest vielleicht nochmal die Definition der Untersummen nachschlagen. Da ist nicht von Funktionswerten die Rede, sondern von etwas anderem...
Und das kann man dann trotzdem so hinbiegen, dass es null wird 
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| 19.03.2014, 21:04 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, das infimum der funktionswerte f(t), für t in einem Intervall, muss 0 sein. Stimmt das soweit? |
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| 19.03.2014, 21:06 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, das infimum der funktionswerte f(t), für t in einem Intervall, muss 0 sein. Stimmt das soweit? wenn ja, wie kann dann das inf aller funktionswerte gleich 0 sein, wenn für alle x gilt: f(x)>0 ? |
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| 19.03.2014, 21:07 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja
Jetzt brauchen wir eine Funktion, die uns in jedem Intervall das Infimum null liefert, ohne dabei Null zu werden... Wie genau wir das machen, hängt von der genauen Aufgabenstellung ab: könntest du da ein paar Details nachreichen?
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| 19.03.2014, 21:08 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, das widerspricht sich nicht
Genauso wenig, wie der Limes von gleich e ist, ohne dass der Wert je angenommen wird |
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| 19.03.2014, 21:10 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also eig steht da nur, dass a < b elemente von R sind und dass es eine funktion von [a,b] -> R gibt. nun soll man zeigen: ist f(x)> 0 für alle x in [a,b], so muss die untersumme nicht > 0 sein, für jede zerlegung mit stützstellen in [a,b] |
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| 19.03.2014, 21:14 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du dir da ganz sicher? Wenn das für jede Zerlegung gelten soll, dann ist die Aussage falsch. (Denk an eine konstante Funktion (ungleich null): da kannst du keine Infima finden, die null sind). Ist da nicht eher ein Gegenbeispiel gefragt? |
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| 19.03.2014, 21:15 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
doch genau, ein gegenbeispiel ist gefragt! |
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| 19.03.2014, 21:20 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besser (dann sollte es oben aber heißen: für eine Zerlegung)
Also: der Einfachheit halber würde ich folgende Zerlegung vorschlagen: . Mehr Arbeit als nötig sollten wir uns nicht machen
Jetzt brauchen wir eine Funktion, die bei Annäherung an einen Wert aus dem Intervall [a,b] gegen Null geht. Fällt dir da etwas ein? |
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| 19.03.2014, 21:23 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vllt 1/a für a geht gegen unendlich? |
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| 19.03.2014, 21:25 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre eine Idee, allerdings hilft uns die nicht wirklich weiter, weil unser Definitionsintervall beschränkt ist. Findest du eine Funktion, die für gegen Null geht? Sie darf dabei zunächst ruhig mal für b null sein, das können wir nachher noch korrigieren
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| 19.03.2014, 21:27 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a/x für x geht gegen b ? |
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| 19.03.2014, 21:30 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Funktion geht aber gegen , nicht gegen null... Es ist viel einfacher als du denkst: überleg mal, welche lineare Funktion sich eignen würde... |
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| 19.03.2014, 21:32 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
b-x geht gegen 0 falls x gegen b geht oder? |
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| 19.03.2014, 21:39 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jep
Damit lässt sich arbeiten. Jetzt müssen wir noch eine kleine Schönheitskorrektur durchführen: für x=b wird die Funktion null. Deswegen weisen wir ihr einfach einen anderen Wert zu
Die Funktion lautet also z.B. Davon, dass die Funktion stetig sein muss, hat schließlich niemand was gesagt, oder?
So, jetzt sollten wir noch nachweisen, dass null tatsächlich das Infimum der Funktionswerte auf dem Intervall [a,b] ist, und danach kannst du die Untersummen berechnen |
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| 19.03.2014, 21:42 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, stetig muss sie laut voraussetzung wirklich nicht sein..... ok, da a<b ist ist b-b < b-x für alle x in [a,b] und b-b ist 0, also ist 0 das infimum. kann ich das so lassen |
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| 19.03.2014, 21:46 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann man so gelten lassen. Jetzt schreib noch die Definition der Untersumme hin, setz unsere Ergebnisse ein und du bist fertig
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| 19.03.2014, 21:53 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist die untersumme gleich null und somit nicht kleiner edit(kgV-19.3-21.55): Text aus dem Latex entfernt. Sieht darin nicht so gut aus
Bitte die Vorschau-Funktion benutzen |
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| 19.03.2014, 21:55 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich meine natürlich größer 0 |
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| 19.03.2014, 21:57 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der erste Teil stimmt. Was du mit der zweiten Formel sagen willst, ist mir nicht klar. Es genügt, einfach zu schreiben
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| 19.03.2014, 21:59 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wenn ich statt b-a den ausdruck mit der summe und xk - x(k-1) schreibe? |
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| 19.03.2014, 22:03 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum denn 
Die Summe hat doch nur einen Summanden, und der lautet
Es würde dein Ergebnis nicht falsch machen, wenn du die Summe stehen lässt, aber es wirkt irgendwie doch sehr unfertig
Außerdem kostet es dich doch nix, diesen letzten Schritt auch noch hinzuschreiben
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| 19.03.2014, 22:06 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also schreibe ich: U = (b-a)* f(b) = (b-a) * 0 = 0 |
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| 19.03.2014, 22:09 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum denn f(b)? Wir haben doch die ganze Zeit über das Infimum der Funktionswerte geredet, das gehört da auch hin... Außerdem wäre es besser, wenn du schreiben würdest |
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| 19.03.2014, 22:11 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, klingt logisch! dankeschön!!!!! für deine hilfe!!! |
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| 19.03.2014, 22:13 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen
Gute Nacht wünsche ich 
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| 19.03.2014, 22:15 | New_Daria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ebenfalls, die hast du dir jetzt echt verdient
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