Potenzreihen

03.03.2007, 19:25

aquadrat

Potenzreihen

Hallo, bin neu hier und in Mathe noch recht hilfsbedürftig, vielleicht kann mir ja jemand helfen:

F(x) ist eine Potenzreihe, der Konvergenzradius r >0.
Ich soll alle Möglichkeiten für das Konvergenzintervall angeben.
Irgendwie stehe ich bei der Fragestellung schon auf dem Schlauch.

Und dann soll ich die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

differenzieren. Kann ich die einfach mit der Quotientenregel differenzieren?

03.03.2007, 19:53

integralschokolade

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Wenn man die Funktion
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$
ableitet, muss man einfach n als konstant betrachten einfach diese Regel verwenden: Beim Ableiten schreibt man die Hochzahl vor die
Variable und zieht dann eins ab!
$\begin{eqnarray*} diff(x^{n}) = n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

03.03.2007, 20:38

Dual Space

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RE: Potenzreihen
Naja eine Potenzreihe konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<r \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Frage, was passiert mit $\begin{eqnarray*} |x|=r \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Und bei der Aufgabe mit dem differenzieren, musst du natürlich begründen, warum man eine Potenzreihe summandenweise differenzieren darf.

03.03.2007, 20:56

WebFritzi

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von aquadrat
Und dann soll ich die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

differenzieren. Kann ich die einfach mit der Quotientenregel differenzieren?

Zuerstmal ist das keine Reihe. Du hast das Summenzeichen vergessen. Und zweitens: wozu Quotientenregel? Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{n!}x^n. \end{eqnarray*}$

Man darf eine Potenzreihe gliedweise differenzieren, d.h. jeden einzelnen Summanden. Dabei muss man aber noch darauf achten, dass der erste Summand weggelassen wird, wenn die Reihe bei n=0 losgeht, denn der erste Summand ist dann ja eine Konstante und dessen Ableitung ist Null.

03.03.2007, 21:32

aquadrat

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von Dual Space
Naja eine Potenzreihe konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<r \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Frage, was passiert mit $\begin{eqnarray*} |x|=r \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Ja und was ist mit |x| = r? smile

konvergiert das auch?

03.03.2007, 21:49

kiste

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Überprüfs doch...
Ist ne ziemlich leichte Abschätzung

04.03.2007, 01:03

WebFritzi

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von aquadrat

Zitat:

Ja und was ist mit |x| = r? smile

konvergiert das auch?

So ganz allgemein kann man das nicht sagen. Nur bei gegebener Potenzreihe.

04.03.2007, 14:36

aquadrat

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von aquadrat
Und dann soll ich die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

differenzieren. Kann ich die einfach mit der Quotientenregel differenzieren?

Ok danke,

aber was mache ich jetzt wenn da steht

Differenzieren Sie $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$
Soll ja kein bestimmtes Glied differenzieren. Da das ja die e-Funktion ist, muss da ja am ende wieder das gleiche rauskommen. Und wie bestimme ich den Konvergenzradius dieser Potenzreihe? Fragen über Fragen verwirrt

04.03.2007, 15:14

WebFritzi

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Sag mal, hast du kein Skript o.ä.?

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