Gleichung einer Ebene E durch Punkte aufstellen

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lena2323 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung einer Ebene E durch Punkte aufstellen
Meine Frage:
Ich muss mich auf eine Klausur vorbereiten aber hab Schwierigkeiten mit den Aufgaben:
Gegeben sind die Punke A(1/1/-1), B(3/5/1), C(5/5/7) und D(-1/0/-6).
1.)Stelle eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A,B und C auf.
2.)Zeige, dass der Punkt D auf der Ebene E liegt.
3.) Begründe, dass das Viereck ABCD eben ist.
4.) Untersuche, ob der Punkt F(5/6/6) im Dreieck ABC liegt.

Meine Ideen:
zur 1 habe ich als Ergebnis: 3x-y-z=3 (das ist richtig)
zur 2 habe ich raus, dass der Punkt D auf der Ebene E liegt. (ist ebenfalls richtig)

Bei der Aufgabe 3 habe ich Probleme und weiß nicht wie ich begründen soll, dass das Viereck ABCD eben ist, woher weiß ich dass das Viereck eben ist?

Zur der 4. Aufgabe : ich habe den Punkt F in die Ebenengleichung eingesetzt, also 3*5-6-6=3 und habe als Ergebnis 3=3 erhalten, durch die Punktprobe zum Überprüfen des Dreiecks erhalte ich also, dass F in der Ebene liegt. Stimmt das so, oder muss man da anders rechnen?
Bitte um Hilfe !! Danke !!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach meinem Verständnis ist bei 3.) nix zu tun, wenn 2.) schon nachgewiesen ist:

Sind die vier Punkte in einer Ebene, dann bilden sie auch ein ebenes Viereck. Es ist ja keine Rede davon, dass es ein spezielles Viereck sein soll, also nichtüberschlagen oder gar konvex.

EDIT: Hmm, Ok, zumindest muss nachgewiesen werden, dass keine 3 der 4 Punkte auf einer Geraden liegen.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@lena:
bei 4) hast Du gezeigt, dass der Punkt in der Ebene liegt, nicht aber, ob er im Dreieck liegt. Hierzu würde ich schauen, ob sich der Vektor durch zwei Seitenvektoren geeignet (also mit bestimmten Gewichten) linear kombinieren lässt.

EDIT: Frage an HAL zurückgezogen, falls D z.B. auf der Geraden durch AB liegt, ergibt sich ein Dreieck und kein Viereck.
lena2323 Auf diesen Beitrag antworten »

zur aufgabe 4: Zum Überprüfen ob der Punkt im Dreieck liegt habe ich dann den Punkt F in meine Ebenengleichung eingesetzt, habe dann durch das Gleichungssystem r und s berechnet, für r habe ich 0,5, und für s=3/4 raus.. wenn ich r+s addiere kriege ich eine zahl rauß die größer als 1 ist, also liegt der Punkt F nicht in dem Dreieck?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man noch wüsste, welche Bedeutung bei dir und haben, könnte man darauf antworten. Ich rate mal, dass du damit die Parameterdarstellung



der Ebene meinst? In dem Fall stimmt es: heißt, dass zwar in dem durch aufgespannten Parallelogramm liegt, aber nicht im Dreieck , was ja nur eine Hälfte dieses Parallelogramms ist.
Lena2323 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau habe die parameterform der Ebene gemeint, gut vielen dank !
Nur die 3. Aufgabe versteh ich noch nicht so..
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