Fixkörper der Kreisteilungskörper

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pittersen Auf diesen Beitrag antworten »
Fixkörper der Kreisteilungskörper
Meine Frage:
Hallo, tut mir Leid, dass ich so blöde Fragen stellen muss, aber lang ist's her...
Die Galoisgruppe G des n-ten Kteisteilungskörpers ist isomorph zu , hat also Ordnung n.
Wenn ich nun wissen will, wieviele Zwischenkörper von Grad d über Q es gibt, was brauche ich dann? Brauche ich die Anzahl der Untergruppen von G mit Ordnung d, oder brauche ich die Anzahl der Untergruppen von Index d?



Meine Ideen:
Über Q ist nach dem Hauptsatz der Galoistheorie der Grad des Fixkörpers zur Untergruppe H, gleich dem Index von H in G, oder nicht?
Ich muss also die Anzahl der Untergruppen von INDEX d bestimmen, stimmts? Oder bin ich blöd und es gibt gleich viele Untergruppen von Index d und Untergruppen von Grad d?
Wenn nämlich H den Index d hat, dann hat die Untergruppe H'=G/H die Ordnung d.
Hat andererseits H die Ordnung d hat, dann hat H'=G/H die Ordnung n/d und damit den Index n/(n/d)=d.
Wenn es mir also um die reine Anzahl von Zwischenkörpern von Grad d geht, ist es egal, wie ich vorgehe.

Kann dazu vielleicht jemand kurz feedback geben?
Vlele Grüße pittersen!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixkörper der Kreisteilungskörper
hallo,
deine erste feststellung
Zitat:
die galoisgruppe G des n-ten kreisteilungskörpers ist isomorph zu
(Z/nZ)° , hat also ordnung n
ist schon falsch, die einheitengruppe
hat natürlich die ordnung phi(n), wobei phi die eulersche phi-funktion, also
die anzahl der zu n teilerfremden zahlen < n ist.
gruss ollie3
 
 
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, mist. Ist mir klar. Hab das irgendwie verhuddelt. Macht aber nix weiter, denn die Fragen und Überlegungen bleiben dieselben! Anstatt n halt phi(n).
Danke!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, und zu deiner frage: es gibt doch bei der galoistheorie den zusammenhang
von zwischenkörpern und untergruppen, ich glaube es gibt zu jedem zwischen-
körper genau eine untergruppe, und das würde ja heissen man will wissen, wieviele untergruppen von (Z/nZ)° mit einer bestimmten ordnung d gibt.
Eigentlich müsste das dann doch phi(n)/d sein, oder verwirrt
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Phi(n)/d ist der Index einer Untergruppe der Ordnung d. Es gibt allerdings nicht phi(n)/d viele, oder?
zB in (Z/7Z)*, was Ordnung 6 hat, gibt es genau eine Untergruppe der ordnung 3 und nicht 6/3=2 viele wie du meinst.
Es gibt nur die Gruppe {1,2,4}.
Verstehst du meine Überlegungen von oben? Ist das Unsinn?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
du hast recht, diesmal war meine überlegung falsch.
Aber ich glaube auch nicht, das {1,2,4} eine untergruppe von (Z/7Z)° ist,
man kann ja zum beispiel nicht 1 mit 2 verknüpfen, ohne aus der gruppe
herauszukommen. Hat dann (Z/7Z)° überhaupt eine nichtriviale untergruppe? verwirrt
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3, ich dachte, mann muss das als multiplikative gruppe auffassen, deshalb ist
1°2:=1*2=2 immernoch in der Gruppe Augenzwinkern
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
achso, natürlich hast du recht Freude , und dann stimmt das mit der untergruppe auch. Da war ich ja völlig auf dem falschen dampfer. Hammer
Über den rest mache ich mir noch gedanken. Bis dann!
gruss ollie3
pittersen Auf diesen Beitrag antworten »

Über den Rest brauchst du dir auch keine Gedanken mehr machen, denn das ist im allgemeinen falsch.

gruß pittersen
und vielen dank!!
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als kleiner Einwurf an ollie3:
Zitat:
wieviele untergruppen von (Z/nZ)° mit einer bestimmten ordnung d gibt.
Eigentlich müsste das dann doch phi(n)/d sein, oder verwirrt


Es gibt in jeder zyklischen Gruppe mit n Elementen für jeden Teiler d genau eine Untergruppe mit dieser Ordnung und alle Untergruppen von sind von dieser Form. Augenzwinkern

Beste Grüße,
Dominik
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Telperion
Zitat:
wieviele untergruppen von (Z/nZ)° mit einer bestimmten ordnung d gibt.
Eigentlich müsste das dann doch phi(n)/d sein, oder verwirrt


Es gibt in jeder zyklischen Gruppe mit n Elementen für jeden Teiler d genau eine Untergruppe mit dieser Ordnung und alle Untergruppen von sind von dieser Form. Augenzwinkern


Ich habe hier nirgendwo eine Einschränkung an gelesen... ist genau dann zyklisch, wenn (und falls , aber das ist nicht so interessant...).

Oder lese ich deine Aussage falsch? Für mich klingt es gerade so, als wolltest du andeuten, die fragliche Gruppe sei immer zyklisch. verwirrt
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