Fixkörper der Kreisteilungskörper |
| 20.03.2014, 09:36 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Fixkörper der Kreisteilungskörper Hallo, tut mir Leid, dass ich so blöde Fragen stellen muss, aber lang ist's her... Die Galoisgruppe G des n-ten Kteisteilungskörpers ist isomorph zu , hat also Ordnung n. Wenn ich nun wissen will, wieviele Zwischenkörper von Grad d über Q es gibt, was brauche ich dann? Brauche ich die Anzahl der Untergruppen von G mit Ordnung d, oder brauche ich die Anzahl der Untergruppen von Index d? Meine Ideen: Über Q ist nach dem Hauptsatz der Galoistheorie der Grad des Fixkörpers zur Untergruppe H, gleich dem Index von H in G, oder nicht? Ich muss also die Anzahl der Untergruppen von INDEX d bestimmen, stimmts? Oder bin ich blöd und es gibt gleich viele Untergruppen von Index d und Untergruppen von Grad d? Wenn nämlich H den Index d hat, dann hat die Untergruppe H'=G/H die Ordnung d. Hat andererseits H die Ordnung d hat, dann hat H'=G/H die Ordnung n/d und damit den Index n/(n/d)=d. Wenn es mir also um die reine Anzahl von Zwischenkörpern von Grad d geht, ist es egal, wie ich vorgehe. Kann dazu vielleicht jemand kurz feedback geben? Vlele Grüße pittersen! |
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| 20.03.2014, 09:54 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Fixkörper der Kreisteilungskörper hallo, deine erste feststellung
hat natürlich die ordnung phi(n), wobei phi die eulersche phi-funktion, also die anzahl der zu n teilerfremden zahlen < n ist. gruss ollie3 |
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| 20.03.2014, 09:58 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, mist. Ist mir klar. Hab das irgendwie verhuddelt. Macht aber nix weiter, denn die Fragen und Überlegungen bleiben dieselben! Anstatt n halt phi(n). Danke! |
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| 20.03.2014, 10:13 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, ja, und zu deiner frage: es gibt doch bei der galoistheorie den zusammenhang von zwischenkörpern und untergruppen, ich glaube es gibt zu jedem zwischen- körper genau eine untergruppe, und das würde ja heissen man will wissen, wieviele untergruppen von (Z/nZ)° mit einer bestimmten ordnung d gibt. Eigentlich müsste das dann doch phi(n)/d sein, oder 
gruss ollie3 |
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| 20.03.2014, 10:29 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Phi(n)/d ist der Index einer Untergruppe der Ordnung d. Es gibt allerdings nicht phi(n)/d viele, oder? zB in (Z/7Z)*, was Ordnung 6 hat, gibt es genau eine Untergruppe der ordnung 3 und nicht 6/3=2 viele wie du meinst. Es gibt nur die Gruppe {1,2,4}. Verstehst du meine Überlegungen von oben? Ist das Unsinn? |
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| 20.03.2014, 11:01 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, du hast recht, diesmal war meine überlegung falsch. Aber ich glaube auch nicht, das {1,2,4} eine untergruppe von (Z/7Z)° ist, man kann ja zum beispiel nicht 1 mit 2 verknüpfen, ohne aus der gruppe herauszukommen. Hat dann (Z/7Z)° überhaupt eine nichtriviale untergruppe?
gruss ollie3 |
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| 20.03.2014, 11:14 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ollie3, ich dachte, mann muss das als multiplikative gruppe auffassen, deshalb ist 1°2:=1*2=2 immernoch in der Gruppe 
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| 20.03.2014, 11:35 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, achso, natürlich hast du recht 
, und dann stimmt das mit der untergruppe auch. Da war ich ja völlig auf dem falschen dampfer. 
Über den rest mache ich mir noch gedanken. Bis dann! gruss ollie3 |
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| 20.03.2014, 16:09 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Über den Rest brauchst du dir auch keine Gedanken mehr machen, denn das ist im allgemeinen falsch. gruß pittersen und vielen dank!! |
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| 20.03.2014, 20:13 | Telperion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur als kleiner Einwurf an ollie3:
Es gibt in jeder zyklischen Gruppe mit n Elementen für jeden Teiler d genau eine Untergruppe mit dieser Ordnung und alle Untergruppen von sind von dieser Form.
Beste Grüße, Dominik |
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| 21.03.2014, 07:40 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe hier nirgendwo eine Einschränkung an gelesen... ist genau dann zyklisch, wenn (und falls , aber das ist nicht so interessant...). Oder lese ich deine Aussage falsch? Für mich klingt es gerade so, als wolltest du andeuten, die fragliche Gruppe sei immer zyklisch.
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