Wechseln des Körpers bei Vektorräumen

20.03.2014, 23:01	Helmut2351	Auf diesen Beitrag antworten »
Wechseln des Körpers bei Vektorräumen Kann man irgendwelche Aussagen treffen, wenn man den Grundkörper eines Vektorraumes ändert? Sei $\begin{eqnarray} k \le K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung. $\begin{eqnarray} V=k^n, W=K^n \end{eqnarray}$ . Stehen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ in irgend einem Zusammenhang? Ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow W, x \mapsto x \end{eqnarray}$ , betrachtet. Sie ist injektiv und nicht surjektiv (oder?). Falls man den Ausdruck "linear" abwandelt ( ich kenne nur die Version, bei der der Grundkörper gleich bleibt ), ist sie $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -linear, also $\begin{eqnarray} f(a+nb)=f(a)+nf(b) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} n \in k \end{eqnarray}$ . Was passiert mit Untervektorräumen? Falls $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ UVR von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist, ist dann $\begin{eqnarray} f(U) \end{eqnarray}$ UVR von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ? Wie ändert sich die Dimension? Gibt es dazu Literatur? Wie sieht es weiterhin aus, wenn $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ unterschiedliche Dimension haben sollen? Die Abbildung muss man dann anpassen. Danke für eure Hilfe.
21.03.2014, 07:44	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} W= K\otimes_k V \end{eqnarray}$ und die Abbildung, die du aufgeschrieben hast, sollte man natürlich auch anders notieren: $\begin{eqnarray} f ~:~ V \to W = K\otimes_k V, ~ x \mapsto 1\otimes x \end{eqnarray}$ Warum sollte man nicht $\begin{eqnarray} x\mapsto x \end{eqnarray}$ schreiben? $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist zunächst ein Element von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , nicht von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ , und es gibt ggf. nicht unbedingt eine kanonische Möglichkeit, $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ aufzufassen... Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodu...ung_der_Skalare Das Tensorprodukt ist der entscheidende Begriff. Geeignete Literatur ist (fast) jedes Buch zur linearen und/oder reinen Algebra. Edit: In der Tat ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -linear und für die Dimension gilt $\begin{eqnarray} \dim_k(V) = \dim _K (W) \end{eqnarray}$ . Unterräume kann man in der Tat mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ "transportieren", was auch die Dimension dieser Unterräume erhält.

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