Umkehrfunktion einer e-Funktion

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21.03.2014, 17:36	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion einer e-Funktion Hallo, die Aufgabenstellung lautet "Bestimmen Sie die Umkehrfuntion der Funktion $\begin{eqnarray} y(x)=e^{x²-2} \end{eqnarray}$ und den Definitionsbereich der Umkehrfunktion." ich hab es so versucht: $\begin{eqnarray} y(x)=e^{x²-2} \end{eqnarray}$ \| ln ln(y) = 2(x-2) ln(y) = 2x - 4 -2x = -ln(y)-4 $\begin{eqnarray} x = \frac{ln(y)+4}{2} \end{eqnarray}$ so... und davon die Umkehrfunltion $\begin{eqnarray} y = \frac{ln(x)+4}{2} \end{eqnarray}$ und Definitionsbereich $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ?? Irgendwas sagt mir das das so nicht richtig ist
21.03.2014, 17:43	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
bei deinem ersten Schritt ist etwas schief gelaufen. Wo ist denn das Quadrat hin? $\begin{eqnarray} ln(e^{x^{2}-2 }) =x^{2}-2 \end{eqnarray}$ Der Definitionsbereich stimmt so auch nicht.
21.03.2014, 17:55	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab das Quadrat nach vorn gezogen aber merk grad das ich das mit $\begin{eqnarray} ln(x^{n} )=nln(x) \end{eqnarray}$ durcheinander gebracht habe. okay. dann x²-2 ...in diesem Fall komm ich aber auch nicht weiter. ich muss doch auf beiden Seiten logarithmieren und hab dann $\begin{eqnarray} ln(y)=x^{2} -2 \end{eqnarray*}$ wenn ich das umstelle hab ich dann x² auf der einen seite und ln(y)-2 auf der anderen .. aber ich darf doch noch die Wurzel aus ln(y) ziehen?
21.03.2014, 17:58	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
warum soll man nicht die Wurzel ziehen dürfen? Das ist der nächste Schritt.
21.03.2014, 18:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@rbbt Entweder hast du die Aufgabenstellung nicht richtig wiedergegeben, oder es fehlt dort tatsächlich was: Ohne Angabe des Definitionsbereichs muss man bei $\begin{eqnarray} y(x) = e^{x^2-2} \end{eqnarray}$ alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ annehmen - dann hat aber $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ gar keine Umkehrfunktion. Erst durch Einschränkung des DB, z.B. auf $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ macht die Sache mit der Umkehrfunktion Sinn.
22.03.2014, 09:44	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y(x)=e^{x²-2} <br /> ln(y)=x²-2 <br /> x²=ln(y)+2 <br /> x=\sqrt{ln(y)+2} <br /> Umkehrfunktion: <br /> y=\sqrt{ln(x)+2} <br /> D=0;+ \infty \end{eqnarray}$ so? PS: Die Aufgabe ist vollständig so wie ich sie hier gepostet habe. Bzw genauso steht sie in meiner Übungsklausur.
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22.03.2014, 10:31	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
die Umkehrfunktion stimmt - unter Beachtung von HALs Hinweis. Der Definitionsbereich stimmt allerdings nicht. Man muss auf die Wurzel achten und dass bspw. ln(0) gar nicht definiert ist.
22.03.2014, 10:51	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
okay das ln(0) nicht definiert ist wusste ich nicht. hm.. $\begin{eqnarray} Df=x\in \mathbb R \| x\geq \frac{1}{7} \end{eqnarray}$ so?
22.03.2014, 10:55	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du auf die 1/7? Du musst so ansetzen: $\begin{eqnarray} ln(x)+2\geq 0 \end{eqnarray}$
22.03.2014, 11:39	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau wegen dem Ansatz bin ich auf die 1/7 gekommen. ich weiß nicht wie das geht, erklärs mir? soll ich die Ungleichung einfach in den Definitionsbereich schreiben? oder ln(x)=2 x=e² ? geht das überhaupt?
22.03.2014, 11:42	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
die Umformungen stimmen, du hast lediglich das Minus vergessen. $\begin{eqnarray} ln(x)+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow ln(x)\geq -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\geq e^{-2} \end{eqnarray}$
22.03.2014, 12:33	rbbt	Auf diesen Beitrag antworten »
okay super, vielen Dank! werd mal besser ein paar Übungsaufgaben suchen...

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