Berechnung des Konvergenzradius

21.03.2014, 17:55

Kimyaci

Berechnung des Konvergenzradius

Hey hey,

hab' hier noch eine Aufgabe, eine schnelle Kontrolle wäre nett. Berechnet werden soll der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt k} (x+1)^k \end{eqnarray*}$

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} |\frac{ \frac{(-1)^k}{\sqrt k }}{ \frac{(-1)^{(k+1)}}{\sqrt{k+1}} } | = \lim_{k \to \infty} | \frac{(-1)^k \cdot \sqrt{k+1}}{(-1)^{k+1} \cdot \sqrt k} | = \lim_{k \to \infty} \sqrt{\frac{k+1} k } \end{eqnarray*}$

Vor allem beim nächsten Schritt bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt{1 + \frac 1 k} = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

21.03.2014, 18:11

magic_hero

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Stimmt doch alles, wieso die Unsicherheit?

21.03.2014, 18:13

Kimyaci

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Ich weiß es auch nicht so genau. ^^

Vielen Dank für die Kontrolle. Wink

21.03.2014, 18:17

Gast11022013

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Was passiert denn mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} (x+1)^k \end{eqnarray*}$ ?

21.03.2014, 18:24

Kimyaci

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Das wird doch nicht berücksichtigt? Man vergleicht doch nur die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ miteinander?

Habe ich jedenfalls so gelernt..

21.03.2014, 18:28

magic_hero

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Zitat:

Original von Kimyaci
Habe ich jedenfalls so gelernt..

Wenn tatsächlich nur nach dem Konvergenzradius gefragt ist, ist das so auch richtig. Einen solchen Faktor muss man nur betrachten, wenn man angeben soll/wissen will, für welche x die Potenzreihe denn nun konvergiert.

21.03.2014, 18:32

Gast11022013

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Ja, das sah oben für mich gerade so aus als wäre die Aufgabe noch nicht fertig beantwortet, aber es ist ja gar nicht gefragt für welche x-Werte die Potenzreihe konvergiert.

Sorry.

21.03.2014, 18:42

Kimyaci

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Ich hätte die Fragestellung genauer stellen sollen, insofern ist das mein Fehler.

Wie würde man denn weitermachen? Hab das bis jetzt noch nie gemacht, ich dachte das Ergebnis wäre auch direkt verwertbar.

P.S. nun habe ich meinen 1000sten Beitrag. smile

21.03.2014, 18:44

magic_hero

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Zitat:

Original von Kimyaci
Hab das bis jetzt noch nie gemacht, ich dachte das Ergebnis wäre auch direkt verwertbar.

Ist es auch, mehr oder weniger.

Zitat:

Original von Kimyaci
Wie würde man denn weitermachen?

Angeommen, da stünde statt $\begin{eqnarray*} (x+1)^k \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ . Für welche x würde die Potenzreihe dann konvergieren? Benutze dabei den eben errechneten Konvergenzradius.

/EDIT:
Bin jetzt fürs Erste weg. Ich füge noch hinzu: Für welche x divergiert die Potenzreihe und für welche kann man nur mithilfe des Konvergenzradius nichts aussagen? Diese Fragen solltest du dir zuerst stellen.

21.03.2014, 19:43

Kimyaci

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Zu deiner Frage:

Da der Konvergenzradius R = 1 ist, konvergiert die Reihe für alle Werte die innerhalb dieses Radiuses, für die Werte auf dem Radius kann man keine Aussage treffen, alles was außerhalb dieses Radiuses ist divergiert.

Aber wie hilft mir das weiter? verwirrt

21.03.2014, 20:24

magic_hero

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Zitat:

Original von Kimyaci
Da der Konvergenzradius R = 1 ist, konvergiert die Reihe für alle Werte die innerhalb dieses Radiuses, für die Werte auf dem Radius kann man keine Aussage treffen, alles was außerhalb dieses Radiuses ist divergiert.

Im Wesentlichen stimmt das. Bloß was bedeutet "Werte innerhalb/außerhalb des Radius"? Welche x-Werte sind das denn nun? Betrachte zunächst ruhig einmal den Fall, dass wir hier die oben gegebene Potenzreihe haben, nur statt $\begin{eqnarray*} (x+1)^k \end{eqnarray*}$ stehe da $\begin{eqnarray*} x^k=(x-0)^k \end{eqnarray*}$ .

21.03.2014, 22:29

Grautvornix

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RE: Berechnung des Konvergenzradiuses (kurze Kontrolle)

Zitat:

Original von Kimyaci
...
Vor allem beim nächsten Schritt bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt{1 + \frac 1 k} = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Eins vorab: Natürlich stimmt das so!

Aber wenn du dir da unsicher bist, dann solltest du das schon beweisen.
Naheliegend wäre es, dies mittels Stetigkeit der Wurzelfunktion zu erledigen.

Ist der Stetigkeitsbegriff aber noch nicht verfügbar, dann könntest Du abschätzen

$\begin{eqnarray*} 1\leq\sqrt{1+\frac1k}\leq 1+\frac 1{2k} \end{eqnarray*}$

und mittels Einschließungskriterium folgern.

26.03.2014, 17:21

Kimyaci

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Zitat:

Bloß was bedeutet "Werte innerhalb/außerhalb des Radius"?

Das weiß ich leider nicht, darüber haben wir auch noch nie gesprochen in der Vorlesung..

@Grautvornix: Alles klar. Freude

26.03.2014, 17:28

magic_hero

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Zitat:

Original von Kimyaci

Zitat:

Bloß was bedeutet "Werte innerhalb/außerhalb des Radius"?

Das weiß ich leider nicht, darüber haben wir auch noch nie gesprochen in der Vorlesung..

Das kann ich mir gar nicht vorstellen, wo steckt denn dann der Sinn des Begriffs Konvergenzradius? Rechnen um des Rechnens willen? Schau bitte noch mal genau nach, ob wirklich nirgendwo nach der Definition des Konvergenzradius ein Zusammenhang zwischen dem Konvergenzradius und den Werten, für die eine Potenzreihe (absolut) konvergiert bzw. divergiert, erklärt ist.
Bzw. kam nie eine Übungsaufgabe vor, in denen man die x, für die eine Potenzreihe konvergiert/divergiert, bestimmen sollte?!

26.03.2014, 17:53

Kimyaci

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Zitat:

Bzw. kam nie eine Übungsaufgabe vor, in denen man die x, für die eine Potenzreihe konvergiert/divergiert, bestimmen sollte?!

Nope, Naturwissenschaftler-Mathematik halt. Ich hab hier eine Skizze wo das nur anschaulich erklärt wird: Alle Werte die innerhalb dieses Radiuses sind konvergieren, alle die außerhalb sind divergieren. Konkrete x-Werte kamen nie vor.

26.03.2014, 18:12

magic_hero

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Zitat:

Original von Kimyaci
Nope, Naturwissenschaftler-Mathematik halt.

Okay... dann wird es für dich wohl nicht so wichtig sein, das im Detail zu verstehen.

Zitat:

Original von Kimyaci
Ich hab hier eine Skizze wo das nur anschaulich erklärt wird: Alle Werte die innerhalb dieses Radiuses sind konvergieren, alle die außerhalb sind divergieren.

Ja, wobei noch hinzugefügt werden muss, dass am Rand keine Aussage möglich ist. Hier muss extra auf Konvergenz überprüft werden.

Noch mal zum Ursprung und zur Frage zurück, für welche x die Potenzreihe nun konvergiert bzw. nicht: Den Konvergenzradius 1 hattest du ja schon berechnet. Daher kann nun ausgesagt werden, dass die Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-2,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert und für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty,2) \cup (0, \infty) \end{eqnarray*}$ divergiert. Für 2 und 0 ist keine Aussage möglich (hier muss man die Werte einsetzen und schauen, was die Reihe macht).

Wie ich nun auf diese Werte gekommen bin: Hat man den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ einer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ berechnet, so kann man die Aussage treffen, dass die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<r \end{eqnarray*}$ (sogar absolut) konvergiert und für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|>r \end{eqnarray*}$ divergiert. Für $\begin{eqnarray*} |x-x_0|=r \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage möglich. Genau das ist es, was die Skizze (wohl) erklären soll.

In unserem Beispiel ist eben $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$ , womit man auf oben angegebene Werte kommt.

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