Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z

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21.03.2014, 21:56	Brayn410	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo ihr Lieben Ich übe gerade für eine Klausur und habe mir zu diesem Anlass eine eigene Aufgabe ausgedacht, da ich keine Lösungen bekomme hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen wollt Es geht darum alle Gruppenhomomorphismen von $\begin{eqnarray} \varphi : \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Bisher haben wir dazu nur eine Aufgabe gemacht. Dort ging es um das Gleiche nur mit der Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi : \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Nun zu meiner Lösung: Der Homomorphiesatz und der Satz von Lagrange helfen uns bei dem Lösen dieser Aufgabe. Durch den Homomorphisatz erhalten wir: $\begin{eqnarray} \frac{\|\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\|}{\|ker(\varphi)\|} = \|Im(\varphi)\| \end{eqnarray}$ Somit wissen wir, dass $\begin{eqnarray} \|Im(\varphi)\| \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} \|\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\| \end{eqnarray}$ ist. Außerdem liefert der Satz von Lagrange, dass $\begin{eqnarray} \|Im(\varphi)\| \end{eqnarray}$ auch ein Teiler von $\begin{eqnarray} \|\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\| \end{eqnarray}$ ist. Somit können wir alle Teiler von 8 und 16 bestimmen: Teiler von 8 sind: 1, 2, 4 und 8 Teiler von 16 sind: 1, 2, 4, 8 und 16 Als Schnittmenge bleibt nur noch: 1, 2, 4 und 8 da aber: $\begin{eqnarray} 8 \ (mod \ 8) \equiv\ 0 \end{eqnarray}$ ist fällt die 8 raus, da die Abbildung die alle Elemente von $\begin{eqnarray} \|\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\| \end{eqnarray}$ zum neutralen Element abbildet sowieso enthalten ist. Somit könnte also $\begin{eqnarray} \|Im(\varphi)\| \end{eqnarray}$ noch 1, 2 oder 4 sein. Ok, 1 kann natürlich auch nicht sein, da es offensichtlich mehr als nur den trivialen Homomorphismus gibt. Übrig bleiben also noch 2 und 4. Dann schreibe ich die Untergruppen (die sich durch den Satz von Lagrange bestimmen lassen) einfach mal hin: Die 2 - elementige Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +)\ ist:\ \left\{ 0, 4 \right\} \end{eqnarray}$ Die 4 - elementige Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +)\ ist:\ \left\{ 0, 2, 4, 6 \right\} \end{eqnarray}$ Die 2 - elementige Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, +)\ ist:\ \left\{ 0, 8 \right\} \end{eqnarray}$ Die 4 - elementige Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, +)\ ist:\ \left\{ 0, 4, 8, 12 \right\} \end{eqnarray}$ Nun geht es also darum alle Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ in die Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ abzubilden Somit komme ich zu dem Entschluss, $\begin{eqnarray} \|Im(\varphi)\| \end{eqnarray}$ = 4 und diese 4 Homomorphismen sind: $\begin{eqnarray} <br /> \varphi : \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, a + 8\mathbb{Z} \mapsto 0 + 16\mathbb{Z}<br /> \varphi : \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, a + 8\mathbb{Z} \mapsto 4a + 16\mathbb{Z}<br /> \varphi : \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, a + 8\mathbb{Z} \mapsto 8a + 16\mathbb{Z}<br /> \varphi : \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}, a + 8\mathbb{Z} \mapsto 12a + 16\mathbb{Z}<br /> \end{eqnarray}$ Ich hoffe ich bin zumindest auf dem richtigen Weg Liebe Grüße Matthias
21.03.2014, 23:08	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo Brayn410, Wir interessieren uns für die Homomorphismen $\begin{eqnarray} Z \rightarrow Z/16Z \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ schicken. Davon gibt es genau 8: 1 geht auf 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 0 Der Fehler in deiner Argumentation ist, dass ein Gruppenhomomorphismus nicht eindeutig durch sein Bild bestimmt ist (z.B. haben $\begin{eqnarray} 1 \mapsto 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \mapsto 6 \end{eqnarray}$ das gleiche Bild) lg
22.03.2014, 00:06	Brayn410	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo Louis1991, vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Du meinst bestimm 1 -> 2 und 1 -> 6 haben das gleiche Urbild, nämlich die 1 wenn nicht verstehe ich das hier schon nicht. Ansonsten versteh ich aber auch nicht wie man jetzt darauf kommen soll. Nimmt man den kleinsten gemeinsamen Teiler? Also hier die 2 und erzeugt quasi eine zyklische Untergruppe der Zielmenge und bildet auf die Elemente dieser Untergruppe ab.(?) Falls dieser Ansatz stimmt, ist die Virgehensweise auch für alle anderen Gruppen so? Liebe Grüße Matthias
22.03.2014, 00:33	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo Brayn, Nein, ich meine das gleiche Bild. Es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus zwischen $\begin{eqnarray} Z/8Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z/16Z \end{eqnarray}$ , der 1 auf 2 bzw. genau einen, der 1 auf 6 schickt (ein Gruppenhomomorphismus ist eindeutig gegeben durch das, was er auf einem Erzeugendensystem macht). Wenn du die Bilder der beiden Homomorphismen vergleichst, wirst du feststellen, dass sie gleich sind (die eindeutige Untergruppe von $\begin{eqnarray} Z/16Z \end{eqnarray}$ vom Index 2). Ich weiß nicht, ob es eine allgemeine Formel gibt, um die Anzahl der Homomorphismen zwischen 2 Gruppen zu bestimmen (wenn, dann ist sie sicher nicht einfach), ich habe hier einfach benutzt, dass eine Abbildung von $\begin{eqnarray} G/H \rightarrow G' \end{eqnarray}$ einer Abbildung $\begin{eqnarray} G \rightarrow G' \end{eqnarray}$ mit Kern in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ entspricht. Jetzt können wir schauen, was in Frage kommt für $\begin{eqnarray} 1 \mapsto a \end{eqnarray}$ . Es muss gelten $\begin{eqnarray} 16 \| 8a \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gerade. Dadurch haben wir alle Homomorphismen bestimmt. Bei nicht zyklischen Gruppen wird das natürlich einiges schwieriger (bzw. ist mir unklar, bin leider kein Experte für Gruppen )
22.03.2014, 09:46	Brayn410	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo Louis1991, Ich glaube ich habe es jetzt verstanden Daher habe ich mal wieder ein paar Übungen dazu gemacht, hier aber nur mal eine: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/33\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Da würde man doch dann schreiben: $\begin{eqnarray} 33\ \|\ 21a\ \ \ \ \ \ \ a\ \in\ \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Dann zerlege ich die Ordnungen mal in Primfaktoren: 33 = 3 * 11 21 = 3 * 7 und sehe dass in beiden die 3 einmal vorkommt. D.h.: $\begin{eqnarray} 33\ \|\ 2111b\ \ \ \ \ \ \ b\ \in\ \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Oder anders formuliert: $\begin{eqnarray} <br /> kgV(33,21)\ =\ 231<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{231}{21} = 11<br /> \end{eqnarray}$ Somit ist 11 der zyklische Erzeuger für die Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/33\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Damit ergeben sich folgende Gruppenhomomorphismen: $\begin{eqnarray} <br /> \mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/33\mathbb{Z}, a + 21\mathbb{Z} \mapsto 0 + 33\mathbb{Z}<br /> \mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/33\mathbb{Z}, a + 21\mathbb{Z} \mapsto 11a + 33\mathbb{Z}<br /> \mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/33\mathbb{Z}, a + 21\mathbb{Z} \mapsto 22a + 33\mathbb{Z}<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Dann frage ich mich nur, warum unser Dozent mit dem Satz von Lagrange und dem Homomorphiesatz argumentiert hat, wenn es auch so geht. Falls es dich interessiert, die Seite ist diese hier: http://www.mathematik.uni-kl.de/~danz/AGS_Inf.html#klausur Übungsblatt 13 Aufgabe 60 a. Die Lösungen gibt es nur für dieses eine Blatt. Liebe Grüße Matthias
22.03.2014, 12:23	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Wie du vielleicht feststellst, benutzt euer Assisten/Dozent den Satz von Lagrange um die Argumentation oben zu begründen (d.h. der Lösungsweg ist im wesentlichen der selbe). Ob das in der Art und Weise notwendig ist, weiß ich nicht (damit meine ich, ob euer Dozent das so fordern würde). Mir persönlich reicht es natürlich so, wie ich es oben hingeschrieben habe (evtl. etwas weniger verwirrend hingeschrieben )
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22.03.2014, 13:27	Brayn410	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Hallo Louis, vielen vielen Dank für deine tolle Hilfe, du hast mir sehr geholfen Hast du dir meine ausgedachte Lösung mal angesehen, stimmt das so? Vielen Dank nochmal, liebe Grüße Matthias
22.03.2014, 13:37	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Sollte passen.
22.03.2014, 13:46	Brayn410	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen von Z/8Z -> Z/16Z Super, vielen vielen Dank nochmal Liebe Grüße Matthias

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