Gewinnchancen beim Glücksrad

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22.03.2014, 10:38	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewinnchancen beim Glücksrad edit von sulo: Der Titel "Automat" war weder zutreffend noch aussagekräftig. Daher geändert. Ein Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Sektoren. Drei der Sektoren sind mit einer "1", zwei mit einer "2" und einer mit einer "3" gekennzeichnet. Laut Spielplan erhält man bei einer "3" 1,00 Euro und bei einer "2" 0,50 Euro ausgezahlt. Wie hoch muss der Einsatz mindestens sein, damit der Automatenbetreiber die besseren Chancen hat? Idee: $\begin{eqnarray} P("1")=\frac{3}{6} \\ P("2")=\frac{2}{6} \\ P("3")=\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ Wenn man nun sechs mal spielt, ergibt sich: $\begin{eqnarray} 3 \cdot 1=3 \\ 2 \cdot 0,50=1 \\ 1 \cdot 0 =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_{pro}=\frac{4}{6}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Vielen Dank
22.03.2014, 11:16	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
im Grunde nicht falsch. Es geht um den Erwartungswert. Diesen berechnet man am einfachsten nach folgendem Schema. $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|\|c\|c\|c\|} \hline & -x & 0,5-x & 1-x\\ \hline P(x_{i}) & \frac{3}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline x_{i}\cdot P(x_{i}) & -\frac{3}{6}x & \frac{2}{12}-\frac{2}{6}x & \frac{1}{6}-\frac{1}{6}x \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ In der ersten Zeile stehen die möglichen Ausgänge des Experiments, wenn man vom Gewinn des Spielers ausgeht. Er kann demnach seinen Einsatz verlieren (wenn er eine 1 dreht), 0,5€-Einsatz gewinnen (bei einer 2) oder 1€-Einsatz (bei einer 3). Die zweite Zeile gibt an, wie hoch die jeweiligen W-Keiten sind. In der dritten Zeile werden jeweils der Gewinn und die zugehörige W-Keit multipliziert. Addiert man diese Werte zusammen, erhält man den sog. Erwartungswert. Dieser gibt an, welchen Gewinn man im Durchschnitt pro Spiel erwarten kann. Wenn es jetzt heißt, dass der Betreiber im Vorteil sein soll, muss der Erwartungswert negativ sein; andernfalls würde der Spieler auf Dauer Gewinn erzielen. Soweit klar?
22.03.2014, 11:39	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal. Ich verstehe es einigermaßen. Das "Minuszeichen" vor dem x repräsentiert, die Verluste, denn wenn man einen Einsatz hat, verliert man theoretischer Weise, die Menge. Falls man eine eins bekommt, verliert man "ja" seinen Einsatz und wenn man eine zwei bekommt, bekommt man dennoch, sein Geld, welches aber vom Einsatz abgezogen wird, weil man sein Einsatz nicht zurück ergattern kann. Wenn man nun eine drei bekommt, bekommt man dennoch Geld, wird aber wieder vom Einsatz abgezogen. Die letzte Zeile habe ich verstanden, da hast du nur die Wahrscheinlichkeiten mit dem Einsatz+Gewinn multipliziert. Habe ich das so richtig verstanden ?
22.03.2014, 11:49	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das hast du. Jetzt müssen - wie gesagt - die Werte der letzten Zeile addiert werden, um den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mathcal E(X) \end{eqnarray}$ zu erhalten. Und da dieser in diesem Fall negativ sein soll, muss derjenige x-Wert (=Einsatz für das Spiel) gefunden werden, ab dem $\begin{eqnarray} \mathcal E(X) \end{eqnarray}$ kleiner Null wird.
22.03.2014, 11:56	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich vielleicht eine Idee: $\begin{eqnarray} \mathcal E(X) = \frac{3}{6}x+\frac{2}{12}-\frac{2}{6}x+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 > -x+\frac{4}{12}=E(X) \end{eqnarray}$
22.03.2014, 11:58	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
genau. Das jetzt noch nach x auflösen und den passenden Wert/Einsatz angeben, ab dem das Spiel für den Betreiber rentabel ist.
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22.03.2014, 12:01	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0 > -x+\frac{4}{12}=E(X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > \frac{4}{12} \end{eqnarray}$ Bei einem Einsatz von $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Euro. so?
22.03.2014, 12:05	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
bei einem (theoretischen) Einsatz von $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ € ist das Spiel fair, denn dann ist der Erwartungswert Null. Man braucht den ersten Betrag, ab dem der Erwartungswert negativ wird.
22.03.2014, 12:09	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. $\begin{eqnarray} -x > -\frac{4}{12} \end{eqnarray}$ Dann müsste es so aussehen ?
22.03.2014, 12:12	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
nene, da warst eigentlich schon fertig. Es hat nur die richtige Schlussfolgerung gefehlt: Deine Annahme $\begin{eqnarray} x>\frac{4}{12} \end{eqnarray}$ ist richtig. Also welcher Betrag ist größer als 0,3333 €? Die Antwort ist 0,34 €
22.03.2014, 12:14	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso. Ich habe alles verstanden. Vielen Dank für alles.
22.03.2014, 12:15	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne

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