Formel von Bayes

22.03.2014, 13:54

Helftmir

Formel von Bayes

Meine Frage:
Hallo!

Bestimme die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligen werfen eines Würfels eine Augensumme von mindestens 8 zu haben, unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf eine 4 gefallen ist.

Meine Ideen:
Ich habe mir mit einer Grafik zunächst die Situation verdeutlicht.

A = Summe der Augen sind mindestens 8
B = erste Wurf war eine 4

Es gibt also 5 Würfelergebnisse, mit denen ich beim zweiten Wurf auf mindestens 8 Augen kommen kann: 2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils 1/6.
Günstig ist aber nur die "4". Es kann dann noch 4, 5 und 6 gewürfelt werden, um A zu erfüllen -> p=(1/6)*(3/6)=1/12

Die Wahrscheinlichkeit A zu erfüllen, aber nicht B, beträgt p=(1/6)(4/6+5/6+2/6+1/6)=1/3

Mit der Formel von Bayes ergibt sich doch dann:
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{1/12}{1/3} =\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Die angegebene Lösung ist aber 1/2. Kann mir jemand helfen?

22.03.2014, 15:12

Kasen75

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RE: Formel von Bayes

Zitat:

Original von Helftmir

Meine Ideen:
Ich habe mir mit einer Grafik zunächst die Situation verdeutlicht.

A = Summe der Augen sind mindestens 8
B = erste Wurf war eine 4

Es gibt also 5 Würfelergebnisse, mit denen ich beim zweiten Wurf auf mindestens 8 Augen kommen kann: 2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils 1/6.

Es gibt 15 Würfelergebnisse bei denen du mit dem zweiten Wurf auf insgesamt mindestens 8 Augen kommen kannst:

$\begin{eqnarray*} (2,6) ; (3,5) ; (3,6) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6) \end{eqnarray*}$

Das hilft dir aber jetzt nicht viel, da die Formel ist $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

P(B) ist leicht zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ :

Hier kannst du die Ereignisse des Ereignisses A bestimmen, bei dem der erste Wurf eine 4 ist. Wie viele sind das ?

Grüße.

22.03.2014, 16:16

Helftmir:)

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Formel von Bayes
Hallo Kasen75, danke für deine Antwort!

Es sind 3 Ereignisse: (4,4) (4,5) und (4,6)

22.03.2014, 16:37

Kasen75

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Genau.

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=\frac{3}{36} \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt P(B) ?

22.03.2014, 16:51

Helftmir:)

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P(B)=1/6

Und nun:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{3/36}{1/6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich glaube werde noch ein wenig darüber nachdenken, denn so ganz schlüssig ist es mir noch nicht...
Vielen Dank für deine Hilfe!

22.03.2014, 16:58

Kasen75

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Stimmt soweit. smile

Du kannst es anhand der Tabelle versuchen nachzuvollziehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[ht]{|p{2cm}|||p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|p{0.5cm}|} \hline $\text{Summe }$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline \hline \hline 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline 2 & 3 &4 &5 &6 &7&8 \\ \hline 3&4 &5 &6 &7 &8&9 \\ \hline 4 &5 &6 &7&8&9&10 \\ \hline 5 &6 &7&8&9&10&11 \\ \hline 6 &7&8&9&10&11&12 \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die 1. Spalte ist die Anzahl der Augenzahlen beim 1. Wurf.
Die 1. Zeile ist die Anzahl der Augenzahlen beim 2. Wurf

Die Eintragungen sind die Augensummen der beiden Würfe.

Wenn du noch Fragen hast, gerne.

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